Esercizio - Prolungamento analitico
Esercizio: Schaum's pag. 159
Si deve dimostrare che le due serie a) $\sum_(n = 0)^(oo) z^n/2^(n+1)$ , b) $\sum_(n = 0)^(oo) ( z - i )^n/(2 - i)^(n+1)$ sono il prolungamento analitico l'una dell'altra.
Prima di tutto sono serie geometriche... Si vede che la serie a) converge per $|z| < 2$ mentre la serie b) per $| z - i | < sqrt(5)$.
La serie b) si vede che è ottenuta sviluppando in serie di Cauchy-Taylor la funzione $1/(2 - z)$ ( la somma della serie a) ) nel punto $i$ - com'era prevedibile.
Sorge una domanda... Il cerchio di convergenza della nuova serie b) deborda dalla circonferenza di convergenza della a) , come dovevasi dimostrare. Vorrei sapere perché la circonferenza $|z| = 2$ non costituisce una frontiera naturale (come la chiama lui), cioè una barriere invalicabile tramite prolungamento analitico.
In fondo la serie a), quella che ci si era proposti di prolungare analiticamente, può avere sulla circonferenza di convergenza un comportamento imprevedibile...
Grazie.
Si deve dimostrare che le due serie a) $\sum_(n = 0)^(oo) z^n/2^(n+1)$ , b) $\sum_(n = 0)^(oo) ( z - i )^n/(2 - i)^(n+1)$ sono il prolungamento analitico l'una dell'altra.
Prima di tutto sono serie geometriche... Si vede che la serie a) converge per $|z| < 2$ mentre la serie b) per $| z - i | < sqrt(5)$.
La serie b) si vede che è ottenuta sviluppando in serie di Cauchy-Taylor la funzione $1/(2 - z)$ ( la somma della serie a) ) nel punto $i$ - com'era prevedibile.
Sorge una domanda... Il cerchio di convergenza della nuova serie b) deborda dalla circonferenza di convergenza della a) , come dovevasi dimostrare. Vorrei sapere perché la circonferenza $|z| = 2$ non costituisce una frontiera naturale (come la chiama lui), cioè una barriere invalicabile tramite prolungamento analitico.
In fondo la serie a), quella che ci si era proposti di prolungare analiticamente, può avere sulla circonferenza di convergenza un comportamento imprevedibile...
Grazie.
Risposte
Hai dimostrato le seguenti uguaglianze:
$\sum_(n = 0)^(oo) z^n/2^(n+1)=1/(2-z)$ nel dominio $|z| < 2$
$\sum_(n = 0)^(oo) ( z - i )^n/(2 - i)^(n+1)=1/(2-z)$ nel dominio $| z - i | < sqrt(5)$.
In particolare, nell'insieme intersezione dei $2$ domini, diverso dall'insieme vuoto, le $2$ funzioni coincidono, quanto basta per dire che sono l'una il prolungamento analitico dell'altra. In ogni modo, ho l'impressione che tutto questo ti fosse già noto e che non costituisse il vero motivo della discussione.
$\sum_(n = 0)^(oo) z^n/2^(n+1)=1/(2-z)$ nel dominio $|z| < 2$
$\sum_(n = 0)^(oo) ( z - i )^n/(2 - i)^(n+1)=1/(2-z)$ nel dominio $| z - i | < sqrt(5)$.
In particolare, nell'insieme intersezione dei $2$ domini, diverso dall'insieme vuoto, le $2$ funzioni coincidono, quanto basta per dire che sono l'una il prolungamento analitico dell'altra. In ogni modo, ho l'impressione che tutto questo ti fosse già noto e che non costituisse il vero motivo della discussione.
Questo va bene... Ma supponiamo di partire a monte, cioè supponiamo di avere la prima serie e di volerla prolungare analiticamente ottenendo la seconda.
Volevo capire come mai $|z| = 2$ non costituisce una barriera naturale - barriera cioè oltre la quale non si può prolungare la funzione $f(z) := \sum_(n = 0)^(oo) z^n/(2^(n+1))$.
Infatti io ho come dominio di covergenza solamente il cerchio privato del contorno... Come faccio ad avere informazioni sulla prolungabilità della serie?
Grazie Speculor.
Volevo capire come mai $|z| = 2$ non costituisce una barriera naturale - barriera cioè oltre la quale non si può prolungare la funzione $f(z) := \sum_(n = 0)^(oo) z^n/(2^(n+1))$.
Infatti io ho come dominio di covergenza solamente il cerchio privato del contorno... Come faccio ad avere informazioni sulla prolungabilità della serie?
Grazie Speculor.
Ho capito che cosa intendi, la questione è abbastanza sottile. Una volta determinato che
$\sum_(n = 0)^(oo) z^n/(2^(n+1))=1/(z-2)$
sappiamo che la funzione analitica di cui si sta parlando è quella a secondo membro, espressione valida in tutto il suo dominio, dobbiamo escludere $z=2$. Volendo sviluppare questa espressione in serie di potenze, sappiamo che una qualsiasi serie di potenze incontrerà dei problemi per $z=2$, onde per cui ne avremo sempre una rappresentazione parziale, in particolare nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $|z_0-2|$. In pratica, proprio osservando la funzione somma calcolata per una particolare serie di potenze, possiamo ricavare l'autentico dominio di analiticità. Ancora, possiamo dire che lo strumento dello sviluppo in serie ha delle limitazioni intrinseche che nulla hanno a che fare con l'autentico dominio di analiticità. Purtroppo, non riesco ad essere più rigoroso, anche se sono abbastanza convinto che molto meglio non si possa fare. Qualora fosse possibile, mi aspetto un intervento risolutivo da parte di utenti più esperti. Un'ultima considerazione. Queste elucubrazioni mi ricordano il fenomeno della rottura spontanea di simmetria in Fisica. Il sistema fisico gode di una simmetria, ma quando lo osserviamo, la simmetria appare "rotta". Nel nostro caso, possiamo dire che la funzione è "più bella" di quanto ci appaia quando cerchiamo di farne uno sviluppo in serie di potenze.
$\sum_(n = 0)^(oo) z^n/(2^(n+1))=1/(z-2)$
sappiamo che la funzione analitica di cui si sta parlando è quella a secondo membro, espressione valida in tutto il suo dominio, dobbiamo escludere $z=2$. Volendo sviluppare questa espressione in serie di potenze, sappiamo che una qualsiasi serie di potenze incontrerà dei problemi per $z=2$, onde per cui ne avremo sempre una rappresentazione parziale, in particolare nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $|z_0-2|$. In pratica, proprio osservando la funzione somma calcolata per una particolare serie di potenze, possiamo ricavare l'autentico dominio di analiticità. Ancora, possiamo dire che lo strumento dello sviluppo in serie ha delle limitazioni intrinseche che nulla hanno a che fare con l'autentico dominio di analiticità. Purtroppo, non riesco ad essere più rigoroso, anche se sono abbastanza convinto che molto meglio non si possa fare. Qualora fosse possibile, mi aspetto un intervento risolutivo da parte di utenti più esperti. Un'ultima considerazione. Queste elucubrazioni mi ricordano il fenomeno della rottura spontanea di simmetria in Fisica. Il sistema fisico gode di una simmetria, ma quando lo osserviamo, la simmetria appare "rotta". Nel nostro caso, possiamo dire che la funzione è "più bella" di quanto ci appaia quando cerchiamo di farne uno sviluppo in serie di potenze.
Hai capito perfettamente il dubbio.
I problemi per $z = 2$ ci sono, e su questo sono d'accordo. La questione sarebbe capire cosa succede sull'arco $|z| = 2$ per $"Im"(z) > 0$ , non potendo ivi valere la somma della serie geometrica $1/( 2 - z )$. Anzi, per $z = 2i$ per esempio si ha che la serie è irregolare.
Ho solo la certezza che all'interno del cerchio è olomorfa.
Non so...
Grazie ancora...
I problemi per $z = 2$ ci sono, e su questo sono d'accordo. La questione sarebbe capire cosa succede sull'arco $|z| = 2$ per $"Im"(z) > 0$ , non potendo ivi valere la somma della serie geometrica $1/( 2 - z )$. Anzi, per $z = 2i$ per esempio si ha che la serie è irregolare.
Ho solo la certezza che all'interno del cerchio è olomorfa.
Non so...
Grazie ancora...
Non riesco a convincermene...
Sulla circonferenza \(|z|=2\) la serie assegnata non converge in alcun punto, perché non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza (i.e., \(\left| \frac{z^n}{2^{n+1}}\right| \to 0\)).
Però, in realtà non riesco a capire quale sia il problema.
L'elemento analitico di una funzione olomorfa non è tenuto a convergere sulla frontiera del proprio cerchio di convergenza.
E l'unica condizione che una s.d.p. \(\sum a_n(z_0) (z-z_0)^n\) deve soddisfare per fare prolungamento analitico è che i raggi di convergenza \(\rho(\zeta)\) degli elementi analitici \(\sum a_n(\zeta) (z-\zeta)^n\) della sua somma centrati nei punti \(\zeta\) del proprio disco di convergenza \(D(z_0)\) siano tali che esista un \(z_1\) per cui \(\rho(z_1)>\rho(z_0)-|z_0-z_1|\) (N.B.: il termine \(\rho(z_0)-|z_0-z_1|\) rappresenta la distanza di \(z_1\) da \(\partial D(z_0)\)).
Questa condizione assicura che si verifica una situazione del genere (in nero \(z_0\) e \(\partial D(z_0)\) ed in rosso \(z_1\) e la circonferenza \(|z-z_1|=\rho(z_1)\)):
[asvg]xmin=-3;xmax=5;ymin=-3;ymax=5;
axes();
circle([1,1],4); dot([1,1]);
stroke="red"; circle([2,2],3); dot([2,2]);[/asvg]
ed è evidente che la funzione:
\[ f(z) :=\begin{cases} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z_0)\ (z-z_0)^n &\text{, se } |z-z_0|<\rho(z_0) \\ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z_1)\ (z-z_1)^n &\text{, se } |z-z_1|<\rho (z_1)\end{cases}\]
è un prolungamento analitico della somma di \(\sum a_n(z_0) (z-z_0)^n\) ad un insieme più grande di \(D(z_0)\).
Però, in realtà non riesco a capire quale sia il problema.
L'elemento analitico di una funzione olomorfa non è tenuto a convergere sulla frontiera del proprio cerchio di convergenza.
E l'unica condizione che una s.d.p. \(\sum a_n(z_0) (z-z_0)^n\) deve soddisfare per fare prolungamento analitico è che i raggi di convergenza \(\rho(\zeta)\) degli elementi analitici \(\sum a_n(\zeta) (z-\zeta)^n\) della sua somma centrati nei punti \(\zeta\) del proprio disco di convergenza \(D(z_0)\) siano tali che esista un \(z_1\) per cui \(\rho(z_1)>\rho(z_0)-|z_0-z_1|\) (N.B.: il termine \(\rho(z_0)-|z_0-z_1|\) rappresenta la distanza di \(z_1\) da \(\partial D(z_0)\)).
Questa condizione assicura che si verifica una situazione del genere (in nero \(z_0\) e \(\partial D(z_0)\) ed in rosso \(z_1\) e la circonferenza \(|z-z_1|=\rho(z_1)\)):
[asvg]xmin=-3;xmax=5;ymin=-3;ymax=5;
axes();
circle([1,1],4); dot([1,1]);
stroke="red"; circle([2,2],3); dot([2,2]);[/asvg]
ed è evidente che la funzione:
\[ f(z) :=\begin{cases} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z_0)\ (z-z_0)^n &\text{, se } |z-z_0|<\rho(z_0) \\ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z_1)\ (z-z_1)^n &\text{, se } |z-z_1|<\rho (z_1)\end{cases}\]
è un prolungamento analitico della somma di \(\sum a_n(z_0) (z-z_0)^n\) ad un insieme più grande di \(D(z_0)\).
D'accordo... Ma allora mi chiedo: perché $|z| = 2$ non è una "frontiera naturale" (natural boundary)?
Perchè esistono punti \(z_1\in D(0)=D(0;2)\) che soddisfano la condizione \(\rho(z_1)>2-|z_1|\); un tale punto è \(\imath\).
Infatti la somma di \(\sum \frac{z^n}{2^{n+1}}\) è:
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}\ \frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\frac{1}{2-z}\]
e l'elemento analitico di tale funzione centrato in \(\imath\) è:
\[\frac{1}{2-z}=\frac{1}{2-\imath -(z-\imath)} =\frac{1}{2-\imath}\ \frac{1}{1-\frac{z-\imath}{2-\imath}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-\imath)^n}{(2-\imath)^{n+1}}\]
sicché \(\rho(\imath) =|2-\imath|=\sqrt{5}>1=2-|\imath|\); ciò assicura che la somma della s.d.p. assegnata è prolungabile fuori da \(D(0)\), quindi \(\partial D(0)\) (ossia \(|z|=2\)) non può essere la natural boundary della funzione individuata dalla s.d.p. (ossia non può essere la frontiera del più grande insieme aperto cui è possibile prolungare la somma della s.d.p.).
Infatti la somma di \(\sum \frac{z^n}{2^{n+1}}\) è:
\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}\ \frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\frac{1}{2-z}\]
e l'elemento analitico di tale funzione centrato in \(\imath\) è:
\[\frac{1}{2-z}=\frac{1}{2-\imath -(z-\imath)} =\frac{1}{2-\imath}\ \frac{1}{1-\frac{z-\imath}{2-\imath}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-\imath)^n}{(2-\imath)^{n+1}}\]
sicché \(\rho(\imath) =|2-\imath|=\sqrt{5}>1=2-|\imath|\); ciò assicura che la somma della s.d.p. assegnata è prolungabile fuori da \(D(0)\), quindi \(\partial D(0)\) (ossia \(|z|=2\)) non può essere la natural boundary della funzione individuata dalla s.d.p. (ossia non può essere la frontiera del più grande insieme aperto cui è possibile prolungare la somma della s.d.p.).
Mi è più chiaro. Ora ci dormirò su.
Grazie Gugo.
Grazie Gugo.
Ancora una domanda su quello che hai scritto... Non ha alcuna rilevanza ai fini del prolungamento analitico il comportamento dell'elemento analitico (i.e. la serie di potenze) sulla circonferenza di convergenza? Idem per la frontiera naturale?
Detta alla buona: posso testare la prolungabilità analitica solo sviluppando l'elemento analitico dato in serie di Cauchy-Taylor in punti interni al cerchio di convergenza finchè non mi trovo che per un punto $z_0$ ho un nuovo elemento analitico che deborda dal vecchio el.a. formando una lunula.
Sbaglio?
Detta alla buona: posso testare la prolungabilità analitica solo sviluppando l'elemento analitico dato in serie di Cauchy-Taylor in punti interni al cerchio di convergenza finchè non mi trovo che per un punto $z_0$ ho un nuovo elemento analitico che deborda dal vecchio el.a. formando una lunula.
Sbaglio?
"Seneca":
Ancora una domanda su quello che hai scritto... Non ha alcuna rilevanza ai fini del prolungamento analitico il comportamento dell'elemento analitico (i.e. la serie di potenze) sulla circonferenza di convergenza? Idem per la frontiera naturale?
Ora che leggo con attenzione lo Schaum's (i richiami di teoria che propone) c'è scritto che nell'effettuare un prolungamento analitico occorre evitare le singolarità e che, quando queste singolarità sul cerchio di convergenza sono "talmente tante", il prolungamento diventa impossibile. (pag. 146)
Ma allora mi chiedo cosa significhi evitare le singolarità sul cerchio di convergenza. O, ancor più precisamente, come mai $f(z) = \sum_(n = 0)^(oo) z^n/(2^(n+1))$ , che non è definito in nessun punto della circonferenza di convergenza, si può prolungare egualmente senza problemi?
In generale, stabilire "a priori" se la funzione analitica individuata da una s.d.p. sia prolungabile oltre il cerchio di convergenza non credo sia cosa semplice.
L'unico modo che conosco è cercare di verificare "manualmente" che la condizione \(\rho(w)>\rho(z_0)-|w-z_0|\) sia soddisfatta per qualche punto interno a \(D(z_0)\).
Ad ogni modo, è facile dare esempi contrari (ossia di non prolungabilità).
Questo è tutto ciò che posso dirti a riguardo.
Probabilmente qualcuno più esperto di Analisi Complessa potrà esserti più d'aiuto (penso a prime_number o a ciampax).
L'unico modo che conosco è cercare di verificare "manualmente" che la condizione \(\rho(w)>\rho(z_0)-|w-z_0|\) sia soddisfatta per qualche punto interno a \(D(z_0)\).
Ad ogni modo, è facile dare esempi contrari (ossia di non prolungabilità).
Questo è tutto ciò che posso dirti a riguardo.
Probabilmente qualcuno più esperto di Analisi Complessa potrà esserti più d'aiuto (penso a prime_number o a ciampax).
gugo82, nel caso in cui la somma di una serie di potenze possa essere espressa in forma finita, non pensi che le mie considerazioni di carattere "qualitativo" possano fondarsi su qualcosa di più rigoroso? In altri termini, tolto il caso in cui la rappresentazione non sia in forma finita, anche se mi pare di capire che proprio questo caso sia l'oggetto della discussione, può essere sufficiente ciò che ho scritto? Grazie.
@speculor: In effetti, se ti riferisci alle considerazioni fatte qui, non saprei che dirti poiché in realtà non sono sicuro di aver ben capito quale sia la tesi che sostieni.
Insomma, stai dicendo che, se la somma della serie ha un'espressione elementare, allora l'aperto massimale in cui è definito il prolungamento analitico coincide con l'insieme di definizione della somma come funzione elementare?
Se è così, direi che ciò si può affermare tranquillamente senza troppi problemi...
Insomma, stai dicendo che, se la somma della serie ha un'espressione elementare, allora l'aperto massimale in cui è definito il prolungamento analitico coincide con l'insieme di definizione della somma come funzione elementare?
Se è così, direi che ciò si può affermare tranquillamente senza troppi problemi...
Sì, anche se abbastanza ovvio, intendevo semplicemente questo. 
"Seneca":
Grazie mille delle risposte. Qualcuno conosce il russo? Click
Purtroppo no. Tuttavia, poichè ricordavo una breve trattazione abbastanza rigorosa del prolungamento analitico su Smirnov, Corso di matematica superiore III, parte seconda, mi sembrava il caso di passarti questa informazione. Nel frattempo gli ho dato una scorsa, mi sembra una lettura interessante.
"speculor":
[quote="Seneca"]Grazie mille delle risposte. Qualcuno conosce il russo? Click
Purtroppo no. Tuttavia, poichè ricordavo una breve trattazione abbastanza rigorosa del prolungamento analitico su Smirnov, Corso di matematica superiore III, parte seconda, mi sembrava il caso di passarti questa informazione. Nel frattempo gli ho dato una scorsa, mi sembra una lettura interessante.[/quote]
Tra l'altro lo Smirnov ce l'ho. Grazie quindi della dritta.
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