Esercizio P.Induzione

[visind]

Salve ragazzi, ho svolto questo esercizio ma non sono sicuro sia giusto:

$(2n!)>3n!$

Potrebbe risolversi cosi?

$[2(n+1)]! =(2n!)(n+1)>3n!(n+1)$
$3n!(n+1)>3(n+1)!

Grazie

[misanino]

Penso che il testo corretto che devi dimostrare sia $(2n)!>3n!$
Ovviamente per base di induzione puoi prendere $n=2$
Attento però, hai poi commesso un errore.
Supposto infatti vero che $(2n)!>3n!$, ragionando su $n+1$ devi fare così:
$[2(n+1)]! =(2n+2)! =(2n+2)(2n+1)(2n)!>(2n+2)(2n+1)3*n!>(2n+1)3*n!>(n+1)3*n! =3*(n+1)*n! = 3*(n+1)!$
e hai finito

[visind]

Perfetto, ti ringrazio!

[visind]

Mentre banalmente

$5^n>=4n+5$ per $n>=2$

$5^(n+1)= 5*5^n >= 5(4n+5)

Un mio amico conlcudeva:

$5^(n+1)>= 20n+25

Ma non sarebbe opportuno conlcudere:

$20n+25>>= 4(n+1)+5$?

[misanino]

Sì.
Fai bene a concludere in questa maniera!

[visind]

grazie mille!!!

[visind]

Invece questa? (Perdonatemi, ma mi rimane davvero difficile)

$\sum_{k=0}^n (-2^k) = 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]$ per ogni $n>=0$

Grazie di nuovo

[misanino]

"visind":Invece questa? (Perdonatemi, ma mi rimane davvero difficile)

$\sum_{k=0}^n (-2^k) = 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]$ per ogni $n>=0$

Grazie di nuovo

Forse intendi dire:
$\sum_{k=0}^n (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]$?
Che è diverso!
Perchè quello che hai scritto tu non è vero

[visind]

Esercizio 1. Dimostrare per induzione che per ogni numero naturale $n>=0$ vale

Il testo dell'esercizio che ho scritto!

[misanino]

Quello che hai scritto tu è sbagliato perchè a sinistra c'è un numero sempre negativo mentre a destra c'è un numero sempre positivo poichè
$(-2^k)=-(2^k)<0$
Invece io ti ho detto di controllare se non è invece:
$(-2)^k$ che è positivo o negativo a seconda che k sia pari o dispari
Chiaro?

[visind]

In effetti è come dicevi tu...perdonami...

[misanino]

Allora supponimao vero per ipotesi di induzione che $\sum_{k=0}^n (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]$
e dimostriamolo per $n+1$ cioè dobbiamo dimostrare che
$\sum_{k=0}^(n+1) (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n+1)*2^(n+2)]$
Sei d'accordo sul fatto che dobbiamo dimostrare questo?

[misanino]

"misanino":Allora supponimao vero per ipotesi di induzione che $\sum_{k=0}^n (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]$
e dimostriamolo per $n+1$ cioè dobbiamo dimostrare che
$\sum_{k=0}^(n+1) (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n+1)*2^(n+2)]$
Sei d'accordo sul fatto che dobbiamo dimostrare questo?

Se sei d'accordo con quanto ho scritto nel precedente post allora possiamo andare avanti.

Bena allora procediamo a mostrare che $\sum_{k=0}^(n+1) (-2)^k = 1/3 [1+(-1)^(n+1)*2^(n+2)]=1/3+1/3 [(-1)^(n+1)*2^(n+2)]$
Ora:
$\sum_{k=0}^(n+1) (-2)^k=(\sum_{k=0}^(n) (-2)^k) +(-2)^(n+1)= (per \ i nduzion e) 1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]+(-2)^(n+1)=1/3 [1+(-1)^(n)*2^(n+1)]+(-1)^(n+1)*2^(n+1)$
$=1/3+1/3[(-1)^n*2^(n+1)+3*(-1)^(n+1)*2^(n+1)]=1/3+1/3[2^(n+1)((-1)^n+3(-1)^(n+1))]=1/3+1/3[2^(n+2)((-1)^n+3(-1)^(n+1))/2]$
Devo quindi far vedere che $((-1)^n+3(-1)^(n+1))/2=(-1)^(n+1)$
Distinguiamo il caso in cui $n$ è pari dal caso in cui $n$ è dispari.
Se $n$ è pari allora $(-1)^n=1$ e $(-1)^(n+1)=-1$
Quindi $((-1)^n+3(-1)^(n+1))/2=(1-3)/2=-1=(-1)^(n+1)$ come volevo
Invece se $n$ è dispari allora $(-1)^n=-1$ e $(-1)^(n+1)=1$
Quindi $((-1)^n+3(-1)^(n+1))/2=(-1+3)/2=1=(-1)^(n+1)$ come volevo
E ho così finito.
Chiaro?

[visind]

Si, ti ringrazio davvero tanto!