Esercizio operatori differenziali

[Tes2]

qualcuno saprebbe spiegarmi come si svolgono esercizi tipo questo?

data \(f(x)= \log \lVert x \rVert \) per \(x \in \mathbb{R}^n\setminus \{0\}\), con \(n\geq 2\).

a) calcolare \(\Delta f\) e dire per quali valori di \(n\) la funzione \(f\) è armonica e il campo \(\nabla f\) è solenoidale

b) riconoscere che \( \Delta f \in L^1(B_r)\) dove \( B_r:= \{ x \in \mathbb{R}^n:\ \lVert x \rVert < r \} \) con \(r>0\) e calcolare \( \int_{B_r} \Delta f(x)\ \text{d} x\).

c) riconoscere che \( \Delta f \in L^1(B_r) \) per \(n=3\) e calcolare \( \int_{B_1} f(x)\ \text{d} x\) per \(n=3\)

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Formatta bene le formule col TeX o MathML, altrimenti chiudo (cfr. regolamento, 3.6b).[/xdom]

[Tes2]

va bene ora? o c'è qualche altra cosa che devo cambiare? scusami...

[gugo82]

Dopo 40 post ancora ti dobbiamo suggerire come si formattino le formule?

Per la norma:

\( \lVert x \rVert \)

produce \( \lVert x \rVert \); lo spazio funzionale \( L^1(B_r) \) si ottiene:

\( L^1(B_r) \)

Per gli insiemi:

\( \{ x \in \mathbb{R}^n:\quad \lVert x \rVert < R \} \)

produce \( \{ x \in \mathbb{R}^n:\quad \lVert x \rVert < R \} \).

I tag:

\(    \)

racchiudono le formule "in corpo"; le formule fuori "fuori corpo" vanno racchiuse nei tag:

\[   \]

Ad esempio questa è una formula "fuori corpo" (un'equazione di Poisson):
\[
\begin{cases}
-\Delta u=f &\text{, in } \Omega \\
u=g &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
Per visualizzare il codice con cui è stata ottenuta, fai clic destro sulla formula e scegli "Show Source" dal menù a tendina.

[Tes2]

credo di aver sistemato tutto!!! e grazie!!!

[gugo82]

Ok.
Ci ho messo mano anche un po' io.

Adesso: idee tue (cfr questo avviso, secondo punto)?

[Tes2]

allora... innanzitutto ho calcolato \( \nabla f = \frac{x}{\lVert x \rVert ^2} \)
ora ho le prime difficoltà già per il calcolo del Laplaciano... so ad esempio che \( \Delta f = \operatorname{div} \nabla f \) ma questa non so proprio come si trova... ho il risultato della professoressa... viene \( (n-2)/ \lVert x \rVert \ ^2\) ma non riesco a capire come è arrivata a questo risultato... da dove viene questa n???

[gugo82]

Quello è un risultato che viene da una formula generale per le funzioni radiali, che si ricava facendo conticini da "Analisi 1,5".

Ricordo che una funzione \(f\) si dice radiale rispetto al punto \(x_0\in \mathbb{R}^N\) se e solo se essa dipende unicamente dalla distanza del punto variabile \(x\) da \(x_0\); ciò accade se e solo se esistono un \(X\subseteq [0,\infty[\) una funzione \(\phi :X\to \mathbb{R}\) tali che:
\[
f(x):= \phi (|x-x_0|)
\]
(uso le sbarrette singole, \(|\cdot |\), per denotare la norma euclidea di \(\mathbb{R}^N\)).
A meno di traslazioni si può sempre far coincidere \(x_0\) con l'origine \(o\), quindi d'orda in avanti supponiamo \(x_0=o\).

Prendiamo \(f(x):=\phi (|x|)\) radiale, con \(\phi :]0,\infty[\to \mathbb{R}\) per semplicità.
Col teorema di derivazione della funzione composta si vede che:
\[
\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial x_n} (x) &= \phi^\prime (|x|)\ \frac{\partial}{\partial x_n}\ |x| \\
&= \phi^\prime (|x|)\ \frac{x_n}{|x|}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\nabla f(x) = \frac{1}{|x|}\ \phi^\prime (x)\ x\; ;
\]
analogamente:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} (x) &= \frac{\partial }{\partial x_n}\left[ \phi^\prime (|x|)\ \frac{x_n}{|x|} \right] \\
&= \phi^{\prime \prime} (|x|)\ \left( \frac{x_n}{|x|}\right)^2 + \phi^\prime (|x|)\ \frac{1}{|x|} + \phi^\prime (|x|)\ x_n\ \frac{-1}{|x|^2}\ \frac{x_n}{|x|}\\
&= \phi^{\prime \prime} (|x|)\ \frac{x_n^2}{|x|^2} + \phi^\prime (|x|)\ \frac{1}{|x|} -\phi^\prime (|x|)\ \frac{x_n^2}{|x|^3}
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\Delta f(x) &:= \sum_{n=1}^N \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} (x)\\
&= \sum_{n=1}^N \phi^{\prime \prime} (|x|)\ \frac{x_n^2}{|x|^2} + \phi^\prime (|x|)\ \frac{1}{|x|} -\phi^\prime (|x|)\ \frac{x_n^2}{|x|^3}\\
&= \phi^{\prime \prime} (|x|)\ \frac{\cancel{|x|^2}}{\cancel{|x|^2}} + \phi^\prime (|x|) \frac{N}{|x|} - \phi^\prime (|x|)\ \frac{\cancel{|x|^2}}{|x|^\cancel{3}}\\
&= \phi^{\prime \prime} (|x|)+\frac{N-1}{|x|}\ \phi^\prime (|x|)\; .
\end{split}
\]
Non ti rimane altro da fare che individuare \(\phi\).

[Tes2]

ok ci sono... sono riuscita a calcolarlo...
quindi il punto a) ho che è armonica per n=2
per il punto b) ora cosa devo fare??? l'integrale lo so fare... la prima parte no...

[gugo82]

Devi dimostrare che \(\Delta f \in L^1 (B_r)\) e ciò equivale a richiedere che...

[Tes2]

che è l'integrale del modulo è finito... giusto?

[gugo82]

Esatto.