Esercizio Limite di successione
Salve a tutti. volevo chiedere cordialmente a tutto il forum se qualcuno potesse aiutarmi con il seguente limite:
$ \lim_{n to \infty) {(2n)^5(n+1)!}/7^(3n+2) $
$ \lim_{n to \infty) {(2n)^5(n+1)!}/7^(3n+2) $
Risposte
Ciao Simpronic, benvenut* sul forum!
Il regolamento del forum (che puoi leggere qui) richiede un tentativo di soluzione dei problemi proposti dagli utenti. Cosa hai provato a fare? Dove ti blocchi?
Il regolamento del forum (che puoi leggere qui) richiede un tentativo di soluzione dei problemi proposti dagli utenti. Cosa hai provato a fare? Dove ti blocchi?
Salve Mephlip, in verità non so come procedere. Un mio collega mi aveva suggerito il metodo del confronto, però non so se può essere adatto.
Si può fare in vari modi. Io, personalmente, mi atterrei a uno strumento che sicuramente il corso ti ha dato: la gerarchia degli infiniti. Molto probabilmente ti hanno dimostrato durante il corso che per ogni $a \in\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è $\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{a^{n}}=+\infty$, quindi è anche $\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{a^{n+1}}=+\infty$. Dunque, nel nostro caso, è $a=7^3$ perché:
$$\frac{(n+1)!}{7^{3n+2}}=\frac{1}{7^2}\cdot \frac{(n+1)!}{\left(7^3\right)^n}$$
Riesci a concludere con questo suggerimento? Se vuoi, puoi scrivere il tuo svolgimento qui e lo rivediamo insieme
.
Se non ti hanno dimostrato che per ogni $a \in\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è $\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{a^{n}}=+\infty$, fammelo sapere che troviamo un altro modo.
$$\frac{(n+1)!}{7^{3n+2}}=\frac{1}{7^2}\cdot \frac{(n+1)!}{\left(7^3\right)^n}$$
Riesci a concludere con questo suggerimento? Se vuoi, puoi scrivere il tuo svolgimento qui e lo rivediamo insieme
.Se non ti hanno dimostrato che per ogni $a \in\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è $\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{a^{n}}=+\infty$, fammelo sapere che troviamo un altro modo.
Ah okok, tutto chiarissimo. Quello che mi bloccava era il fatto che il fattoriale fosse moltiplicato per (2n)^5 però immagino che sempre per gerarchia degli infiniti quel termine venga surclassato dal fattoriale.
E' così ?
E' così ?
Non è facile seguirti così a parole; conviene che scrivi i conti che hai fatto o rischiamo di non capirci. Come svolgeresti per intero questo calcolo di limite?
Ciao Simpronic,
Scusa, perché parli di "surclassamento"? Il termine $(2n)^5 $ va nella stessa direzione del fattoriale, mica lo divide...
Forse il tuo collega stava pensando a qualcosa del genere:
$\lim_{n to +\infty) {(2n)^5(n+1)!}/7^(3n+2) = 32/49 \cdot \lim_{n to +\infty) {n^5(n+1)!}/7^(3n) = $
$ = 224 \cdot \lim_{n to +\infty) {n^5(n+1)!}/(7^3)^{n + 1} > 224 \cdot \lim_{n to +\infty) n^5 = +\infty $
ove la disuguaglianza vale da un certo valore di $n $ in poi, per la precisione per $n \ge \bar n = 928 $, ma non ci sono problemi visto che $n \to +\infty $
"Simpronic":
Quello che mi bloccava era il fatto che il fattoriale fosse moltiplicato per (2n)^5 però immagino che sempre per gerarchia degli infiniti quel termine venga surclassato dal fattoriale.
Scusa, perché parli di "surclassamento"? Il termine $(2n)^5 $ va nella stessa direzione del fattoriale, mica lo divide...
"Simpronic":
Un mio collega mi aveva suggerito il metodo del confronto, però non so se può essere adatto.
Forse il tuo collega stava pensando a qualcosa del genere:
$\lim_{n to +\infty) {(2n)^5(n+1)!}/7^(3n+2) = 32/49 \cdot \lim_{n to +\infty) {n^5(n+1)!}/7^(3n) = $
$ = 224 \cdot \lim_{n to +\infty) {n^5(n+1)!}/(7^3)^{n + 1} > 224 \cdot \lim_{n to +\infty) n^5 = +\infty $
ove la disuguaglianza vale da un certo valore di $n $ in poi, per la precisione per $n \ge \bar n = 928 $, ma non ci sono problemi visto che $n \to +\infty $
Salve grazie a tutti per la risposta. Di seguito mando lo svolgimento del mio collega dal quale mi è venuto il dubbio
L'idea è applicare il criterio del rapporto:
$ \lim_{n -> \infty}(a_{n+1} /a_n) $
A questo limite:
$ \lim_{n-> \infty}((2n)^5(n+1)!)/(7^(3n+2)) $
Allora:
$ \lim_{n-> \infty}((32(n+1)^5(n+1+1)!)/(7^(3(n+1)+2)))/(((2n)^5(n+1)!)/7^(3n+2)) $ = $ \lim_{n->\infty}
((n+1)^5 (n+2)7^2)/(n^5 7^5) = \lim_{n-> \infty} ((n+1^5)(n+2))/n^5 = \infty $
L'idea è applicare il criterio del rapporto:
$ \lim_{n -> \infty}(a_{n+1} /a_n) $
A questo limite:
$ \lim_{n-> \infty}((2n)^5(n+1)!)/(7^(3n+2)) $
Allora:
$ \lim_{n-> \infty}((32(n+1)^5(n+1+1)!)/(7^(3(n+1)+2)))/(((2n)^5(n+1)!)/7^(3n+2)) $ = $ \lim_{n->\infty}
((n+1)^5 (n+2)7^2)/(n^5 7^5) = \lim_{n-> \infty} ((n+1^5)(n+2))/n^5 = \infty $
A parte il disordine vario del tuo collega che usa anche simboli non accettati in letteratura (alla penultima riga, infinito fratto...cosa? Simbolo che diventa poi infinito; forse è un tentativo un po' goffo di dire che l'infinito al numeratore è dominante, ma a quel punto tanto vale scriverlo e almeno si capisce cosa sta succedendo. Sconsiglierei vivamente una scrittura del genere ad un eventuale scritto di esame), occhio ad usare il termine "confronto": in questo contesto specifico, esiste il teorema del confronto che consiste trovare una disuguaglianza che permetta di stabilire il comportamento della successione. Qui non è stato fatto quello, è stato usato il criterio del rapporto.
Una scrittura decente di quello svolgimento è una cosa del tipo: "Sia $a_n:=\frac{(2n)^5(n+1)!}{7^{3n+2}}$, osserviamo che:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^5(n+2)}{n^5}$$
$$=\lim_{n \to +\infty} \frac{n^5\left(1+\frac{1}{n}\right)^5\cdot n\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^5}=+\infty$$
Perciò, dato che il limite del rapporto è strettamente maggiore di $1$, per il criterio del rapporto è $\lim_{n \to +\infty} a_n=+\infty$."
Inoltre, ti segnalo che da regolamento è vietato postare foto. Infatti, col tempo esso vengono cancellate dai siti di upload e rendono la conversazione illeggibile. Questo causa problemi perché lo spirito del forum è di aiutare sia chi chiede, sia chi passerà in futuro avendo gli stessi dubbi di chi ha chiesto. Quindi, cortesemente, quando puoi modifica il tuo messaggio (trovi il pulsante per modificare in alto a destra sul messaggio stesso) e trovi qui un tutorial per le formule. Grazie e buona permanenza sul forum!
Una scrittura decente di quello svolgimento è una cosa del tipo: "Sia $a_n:=\frac{(2n)^5(n+1)!}{7^{3n+2}}$, osserviamo che:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^5(n+2)}{n^5}$$
$$=\lim_{n \to +\infty} \frac{n^5\left(1+\frac{1}{n}\right)^5\cdot n\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^5}=+\infty$$
Perciò, dato che il limite del rapporto è strettamente maggiore di $1$, per il criterio del rapporto è $\lim_{n \to +\infty} a_n=+\infty$."
Inoltre, ti segnalo che da regolamento è vietato postare foto. Infatti, col tempo esso vengono cancellate dai siti di upload e rendono la conversazione illeggibile. Questo causa problemi perché lo spirito del forum è di aiutare sia chi chiede, sia chi passerà in futuro avendo gli stessi dubbi di chi ha chiesto. Quindi, cortesemente, quando puoi modifica il tuo messaggio (trovi il pulsante per modificare in alto a destra sul messaggio stesso) e trovi qui un tutorial per le formule. Grazie e buona permanenza sul forum!
Perfetto, grazie mille a tutti.
E scusami Mephlip, metto subito a posto. grazie mille
E scusami Mephlip, metto subito a posto. grazie mille
Okay, ho pulito e ho cercato (nel mio piccolo) di correggere gli errori simbolici che c'erano
Grazie ancora a tutti
Grazie ancora a tutti
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