Esercizio limite di funzione

[zio_mangrovia]

Un esercizio dice:
utilizzando la definizione di limite di funzione (espressa mediante disuguaglianze) verificare che:

$\lim_{x \to \2}(3x+1)/(x-1)=7$

Arrivo a questo punto ma non so neppure se è il procedimento corretto:

$(x(\epsilon-4)+8-\epsilon)/(x-1)>0$ e $(-x(4+\ epsilon)+8+\ epsilon)/(x-1)<0$

[Camillo]

E' corretto.
Consideriamo la disequazione a sinistra . A noi interessa vedere cosa succede nell'intorno di $x=2 $ quindi il denominatore lo consideriamo positivo .Allora deve anche esserlo il numeratore, cioè $ x(epsilon -4) > epsilon -8 $ anche qui interessa quando $epsilon $ è piccolo... quindi $ epsilon -4 $ sarà $<0 $ . Pertanto cambio i versi alla disequazione ottenendo :
$ x< (epsilon-8)/(epsilon -4)= (8-epsilon)/(4-epsilon )$Ma questo è proprio un intorno destro di $x=2 $ ok ? (vale un pochino più di 2 )
Prova a risolvere l'altra disequazione , come soluzione dovresti trovare un intorno sinistro di 2 .
E allora è vero che quel limite vale 7 .
Infatti dato un $ epsilon > 0 $ trovi che $| f(x) - L | < epsilon$ e questo dove avviene ? come deve essere, avviene in un intorno di 2 .

[zio_mangrovia]

Risposta molto chiara ed esaustiva, ciò che mi lascia perplesso è la soluzione che fornisce il libro di testo, che a mio avviso è piuttosto fantasiosa e poi intuitiva:

Occorre stimare la quantità:

$abs((3x+1)/(x-1)-7)=4abs((x-2)/(x-1))$
Invece di risolvere la disequazione $4abs((x-2)/(x-1))<\epsilon$ si può osservare
che per ogni $x$ appartenente all'intorno di $x_0=2$ di ampiezza $1/2$
risulta $x>2-(1/2)$ e anche $x-1>(1/2)$
perciò:
$abs((3x+1)/(x-1)-7)=4abs((x-2)/(x-1))<4/(1/2)abs(x-2)=8abs(x-2)$
per ogni $x$ $inRR$ tale che $abs(x-2)<1/2$
Fissato $epsilon>0$ e posto $\delta=min{1/2,\epsilon/8}$, risulta:

$abs((3x+1)/(x-1)-7)<\epsilon$, $AAx in RR: abs(x-2)<\delta$


Cosa ne pensate? Non mi è così chiara...