Esercizio Integrali doppi

[max1494]

Salve, mi ritrovo a dover svolgere questo integrale doppio:


$ f(x,y)= 1/( √( x^2 + y^2) )$ con $ A= {(x,y) : x^2+y^2> 4 , 0
Non riesco a capire come si possa risolvere. Provando col metodo di riduzione, mi ritrovo a risolver un integrale, penso, irrisolvibile. Tentando con il cambio di variabili, non riesco ad esprimere l'insieme A in coordinate polari, e non riesco a trovare altri cambi utili. Insomma, se potete illuminarmi, ve ne sarei molto grato
Grazie

[Nico769]

Ciao,
Quando scrivi:

"max1494":$ A= {(x,y) : x^2+y^2> 4 , 0

Per $ 0
$ 0 \leq x \leq y $ $,$ $ x \leq y \leq 2 $

O sbaglio?

[max1494]

Nono, è proprio così come ho scritto.

[Sk_Anonymous]

Il dominio d'integrazione è quello tratteggiato ( vedi figura). Passando a coordinate polari si ha :
$AF={AC}/{\sin \theta}=2/{\sin \theta}$
Pertanto il dominio d'integrazione è :
\(\displaystyle \begin{cases}\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\\2\le\rho\le\frac{2}{\sin \theta}\end{cases} \)
L'integrale L proposto, in coordinate polari, diventa :
\(\displaystyle L=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{2}^{\frac{2}{\sin\theta}}\rho \cdot \frac{1}{\rho}d\rho \)
Ovvero :
\(\displaystyle L=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{2}{\sin \theta}-2)d\theta=\ln(3+2\sqrt2)-\frac{\pi}{2} \)
* Tieni presente che: \(\displaystyle \int \frac{1}{\sin\theta} d\theta=\ln\tan \frac{\theta}{2}+C,\tan\frac{\pi}{4}=1,\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1 \)