Esercizio - Integrale $|z| dz$
Esercizio: Calcolare l'integrale $\int^{i}_-i$ $|z| dz$ nel caso in cui il cammino $\Gamma$ sia a) il cammino rettilineo, b) l'arco di circonferenza sulla destra.
Qualcuno mi conferma che il risultato è, in entrambi i casi, $0$?
Grazie.
Qualcuno mi conferma che il risultato è, in entrambi i casi, $0$?
Grazie.
Risposte
Nel primo caso vale $i$, nel secondo $2i$.
Allora posto il procedimento:
a) cammino rettilineo (il segmento che giace sull'asse immaginario)
Il percorso è $\Gamma : z(t) = i t$
Quindi: $\int_\Gamma |z| dz = \int^1_-1 | i t | i dt = \int_\Gamma |z| dz = i \int^1_-1 |t| dt$
Ma il valore assoluto è una funzione pari, quindi l'integrale è $0$.
Cosa ho sbagliato?
a) cammino rettilineo (il segmento che giace sull'asse immaginario)
Il percorso è $\Gamma : z(t) = i t$
Quindi: $\int_\Gamma |z| dz = \int^1_-1 | i t | i dt = \int_\Gamma |z| dz = i \int^1_-1 |t| dt$
Ma il valore assoluto è una funzione pari, quindi l'integrale è $0$.
Cosa ho sbagliato?
Sarebbe zero se la funzione fosse dispari.
Che sciocco. Grazie.
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