Esercizio integrale indefinito del giorno
L'integrale è il seguente, mi indirizzate solo sul prossimo passo da fare?
$\int (x*sqrt(x) +2)/(x^2-1) dx = $
$\int (x*sqrt(x) +2)/(x^2-1) dx = $
Risposte
Potresti provare con $sqrt(x)=t$
Quindi se pongo $t=sqrt(x)$, allora il mio $dt$ sarà $dt=d(sqrt(x)) = 1/(2sqrt(x)) dx$ e l'integrale diventerà:
$\int (t^2*t+2)/((t^4-1)2t) dt$ E' giusto??
$\int (t^2*t+2)/((t^4-1)2t) dt$ E' giusto??
No
$ sqrt (x)=t $
$1/(2sqrt (x )) dx=dt $
$ dx=2tdt $
....quindi il $2t $ va al numeratore
$ sqrt (x)=t $
$1/(2sqrt (x )) dx=dt $
$ dx=2tdt $
....quindi il $2t $ va al numeratore
Quindi sto procedendo così:
$\int (x*sqrt(x)+2)/(x^2-1) dx=$
$t=sqrt(x)$
$dt=d(sqrt(x)) = 1/(2sqrt(x)) dx$
$dx=2t dt$
$\int ((t^3+2)(2t))/(t^4-1) = 1/3\int 2t d(log(t^4-1)) = 1/3(2t*log(t^4-1) - 2 \int log(t^4-1) dt) =$
Procedo per parti o estendo il polinomio dall'inizio con una divisione? Alla fine ho visto che troverò da decomporre comunque $(P(x))/(t^4-1)$
$\int (x*sqrt(x)+2)/(x^2-1) dx=$
$t=sqrt(x)$
$dt=d(sqrt(x)) = 1/(2sqrt(x)) dx$
$dx=2t dt$
$\int ((t^3+2)(2t))/(t^4-1) = 1/3\int 2t d(log(t^4-1)) = 1/3(2t*log(t^4-1) - 2 \int log(t^4-1) dt) =$
Procedo per parti o estendo il polinomio dall'inizio con una divisione? Alla fine ho visto che troverò da decomporre comunque $(P(x))/(t^4-1)$
scomponi così
$2(t^4+2t)/(t^4-1)=2(t^4-1+1+2t)/(t^4-1)=2(1+(2t+1)/((t-1)(t+1)(t^2+1)))$
poi fratti semplic
$2(t^4+2t)/(t^4-1)=2(t^4-1+1+2t)/(t^4-1)=2(1+(2t+1)/((t-1)(t+1)(t^2+1)))$
poi fratti semplic
L'ho scomposto così:
$\int (xsqrt(x))/(x^2-1) dx + 2\int (1)/(x^2-1)dx$
L'ho modularizzato fino all'osso, ma sto trovando difficoltà solamente nel decomporre e trovare i coefficienti di A,B,C, sapendo che D sarà 0 di sicuro:
$1/((t+1)(t-1)(t^2+1)) = A/(t+1) + B/(t-1) + C/(t^2+1) + Dt/(t^2+1)$
$\int (xsqrt(x))/(x^2-1) dx + 2\int (1)/(x^2-1)dx$
L'ho modularizzato fino all'osso, ma sto trovando difficoltà solamente nel decomporre e trovare i coefficienti di A,B,C, sapendo che D sarà 0 di sicuro:
$1/((t+1)(t-1)(t^2+1)) = A/(t+1) + B/(t-1) + C/(t^2+1) + Dt/(t^2+1)$
sì, effettivamente viene $D=0$, anche se non mi pare così scontato. dal sistema:
${[A+B+D=0],[-A+B+C=0],[A+B-D=0],[-A+B-C=1] :}$
si ricava: $A= -1/4, B=1/4, C= -1/2, D=0$
${[A+B+D=0],[-A+B+C=0],[A+B-D=0],[-A+B-C=1] :}$
si ricava: $A= -1/4, B=1/4, C= -1/2, D=0$
Ti ringrazio. Ti posso domandare quale procedimento adotti per ricavare il sistema e anche il metodo risolutivo?
dal calcolo algebrico, minimo comun denominatore, numeratore risultante posto identicamente uguale a quello del radicando, cioè $1$:
$A(t-1)(t^2+1)+B(t+1)(t^2+1)+C(t+1)(t-1)+Dt(t+1)(t-1) -= 1$
svolgendo i calcoli:
$A(t^3-t^2+t-1)+B(t^3+t^2+t+1)+C(t^2-1)+D(t^3-t) -= 1$
somma dei coefficienti di $t^3$ uguale a $0$
somma dei coefficienti di $t^2$ uguale a $0$
somma dei coefficienti di $t$ uguale a $0$
somma dei termini noti uguale a $1$
queste sono le quattro equazioni scritte nel post precedente.
$ {[A+B+D=0],[-A+B+C=0],[A+B-D=0],[-A+B-C=1] :} $
per la risoluzione,
sommando la prima con la terza si ha: $2A+2B=0 -> A= -B$
sommando la seconda con la quarta si ha: $-2A+2B=1$
sostituendo $-B$ al posto di $A$ in quest'ultima si ha $2B+2B=1 -> B=1/4 -> A=-1/4$
OK?
dalla seconda oppure dalla quarta si ricava $C=A-B= -1/4-1/4= -1/2 vv C=B-A-1=1/2-1= -1/2$
dalla prima oppure dalla terza si ricava $D=-A-B=0 vv D=A+B=0$
$A(t-1)(t^2+1)+B(t+1)(t^2+1)+C(t+1)(t-1)+Dt(t+1)(t-1) -= 1$
svolgendo i calcoli:
$A(t^3-t^2+t-1)+B(t^3+t^2+t+1)+C(t^2-1)+D(t^3-t) -= 1$
somma dei coefficienti di $t^3$ uguale a $0$
somma dei coefficienti di $t^2$ uguale a $0$
somma dei coefficienti di $t$ uguale a $0$
somma dei termini noti uguale a $1$
queste sono le quattro equazioni scritte nel post precedente.
$ {[A+B+D=0],[-A+B+C=0],[A+B-D=0],[-A+B-C=1] :} $
per la risoluzione,
sommando la prima con la terza si ha: $2A+2B=0 -> A= -B$
sommando la seconda con la quarta si ha: $-2A+2B=1$
sostituendo $-B$ al posto di $A$ in quest'ultima si ha $2B+2B=1 -> B=1/4 -> A=-1/4$
OK?
dalla seconda oppure dalla quarta si ricava $C=A-B= -1/4-1/4= -1/2 vv C=B-A-1=1/2-1= -1/2$
dalla prima oppure dalla terza si ricava $D=-A-B=0 vv D=A+B=0$
C'è un modo più rapido per risolvere il sistema dei coefficienti: dall'equazione
$A(t-1)(t^2+1)+B(t+1)(t^2+1)+C(t+1)(t-1)+Dt(t+1)(t-1) = 1$
ponendo $t=1$ si ottiene immediatamente $B$, infatti $A*0+B*4+C*0+D*0=1$ da cui $B=1/4$
ponendo $t= -1$ si ottiene subito $A$,
ponendo $t=0$ e sostituendo i valori di $A$ e $B$ appena trovati si ottiene $C$,
poi per trovare $D$ basta sostituire a $t$ un valore qualsiasi.
$A(t-1)(t^2+1)+B(t+1)(t^2+1)+C(t+1)(t-1)+Dt(t+1)(t-1) = 1$
ponendo $t=1$ si ottiene immediatamente $B$, infatti $A*0+B*4+C*0+D*0=1$ da cui $B=1/4$
ponendo $t= -1$ si ottiene subito $A$,
ponendo $t=0$ e sostituendo i valori di $A$ e $B$ appena trovati si ottiene $C$,
poi per trovare $D$ basta sostituire a $t$ un valore qualsiasi.
però con $t= +-1$ le frazioni non hanno significato.
Capito. Se avessi avuto invece:
$(2t+1)/((t-1)(t+1)(t^2+1)) = A/(t+1) + B/(t-1) + C/(t^2+1) + (Dt)/(t^2+1)$
Quindi:
$A(t^3-t^2+t-1) + B(t^3+t^2+t+1) + C(t^2-1) + D(t^3-t) -= 2t+1$
Il sistema sarà:
${(-A+B-C = 1),(A+B+D = 0),(-A+B+C=0),(A+B-D=2):}$
Ancora devo verificare ma penso sia:
$A=-3/4$
$B=3/4$
$C=-1$
Come si conferisce il valore alla D? Sostituisco i valori noti nell'equazione e via discorrendo?
$(2t+1)/((t-1)(t+1)(t^2+1)) = A/(t+1) + B/(t-1) + C/(t^2+1) + (Dt)/(t^2+1)$
Quindi:
$A(t^3-t^2+t-1) + B(t^3+t^2+t+1) + C(t^2-1) + D(t^3-t) -= 2t+1$
Il sistema sarà:
${(-A+B-C = 1),(A+B+D = 0),(-A+B+C=0),(A+B-D=2):}$
Ancora devo verificare ma penso sia:
$A=-3/4$
$B=3/4$
$C=-1$
Come si conferisce il valore alla D? Sostituisco i valori noti nell'equazione e via discorrendo?
se il secondo membro dell'equazione di partenza, quella con l'integrando al primo membro, è lo stesso,
non cambiano i primi membri dell'equazione del sistema, e rispetto al sistema precedente cambia solo il secondo membro della terza equazione, quella dei coefficienti di $t$, che sarà $2$ anziché $0$.
ricontrolla.
EDIT: mi sono accorta ora che hai sbagliato a copiare $t^2$ e $t^3$ dalle espressioni con $C$ e $D$,
anzi no, $C$ va bene ma in $D$ hai moltiplicato una volta di troppo per $t$.
non cambiano i primi membri dell'equazione del sistema, e rispetto al sistema precedente cambia solo il secondo membro della terza equazione, quella dei coefficienti di $t$, che sarà $2$ anziché $0$.
ricontrolla.
EDIT: mi sono accorta ora che hai sbagliato a copiare $t^2$ e $t^3$ dalle espressioni con $C$ e $D$,
anzi no, $C$ va bene ma in $D$ hai moltiplicato una volta di troppo per $t$.
Si ho corretto e il sistema diventa:
${(-2A+2B = 1),(2A+2B=2):}$
Così abbiamo:
$A=1/2$
$B=1$
$C=-1/2$
$D=-3/2$
${(-2A+2B = 1),(2A+2B=2):}$
Così abbiamo:
$A=1/2$
$B=1$
$C=-1/2$
$D=-3/2$
da quello che hai scritto, se procedi con ulteriore "riduzione", cioè con somma e differenza, ottieni $A=1/4, B=3/4$
Nemmeno mi trovo. C'ho un livello di concentrazione pari ad un bradipo e domani con calma lo risolvo. Ci sto perdendo una giornata intera.
il sistema che hai riscritto è corretto, ma banalmente non è verificato se prendi $B=1 ^^ A=1/2$
riparto da qui:
${(-2A+2B = 1),(2A+2B=2):}$
se sommi membro a membro hai $4B=3$, se fai la seconda meno la prima hai $4A=1$
riparto da qui:
${(-2A+2B = 1),(2A+2B=2):}$
se sommi membro a membro hai $4B=3$, se fai la seconda meno la prima hai $4A=1$
La $D=-1$ e $C=-1/2$. Ma nel verificare l'uguaglianza non mi trovo mai.
in che senso?
$(2t+1)/((t-1)(t+1)(t^2+1)) = 1/(4(t+1)) + 3/(4(t-1)) - 1/(2(t^2+1)) -1/(t^2+1) $
Questa uguaglianza...
Questa uguaglianza...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo