Esercizio integrale forma differenziale

[sk8erboy84]

Ciao a tutti. Mi sono imbattuto in questo esercizio per l'esame di Analisi 2: devo calcolare
$\int_{ \gamma} ds$ dove $F=((yz),(x+y),(z-y))$ e $\gamma=\{(x^2 + y^2 + z^2 = 8),(x^2 + z^2 = y^2):}$
e sapendo che $T_(sqrt(2),2,sqrt(2))=\frac{1}{sqrt(2)}((1),(0),(-1))$.

Io ho proceduto come segue. Innanzitutto ho parametrizzato $\gamma$ :
$\{( y^2 = 4),(y^2 = x^2 + z^2):}$ $\{( y = \pm2),(x^2 + z^2 = 4):}$
Ponendo $\{( x = \rho cos(\theta)),( z = \rho sin(\theta)),(y = 2):}$
avrò $x^2 + z^2 = 4 \Rightarrow (\rho cos(\theta))^2 + (\rho sin(\theta))^2 = 4$
e quindi dato che $\rho$ deve essere $>=0$ si sceglierà solo $\rho=2$ avendo
$\{( x = 2 cos(\theta)),( z = 2 sin(\theta)),(y = 2):}$ con $\theta in [0,2\pi]$.
Vado ora a calcolare l'integrale:
$\int_{ \gamma} ds = \int_{0}^{2\pi} ||\phi'(\theta)|| ds$
Ora il dubbio è: dal momento che $T$ in quel punto lo conosco dovrei verificare il valore di $T$ ? è giusto procedere come segue?
$\int_{ \gamma} ds = \int_{0}^{2\pi} [4sin(\theta)*\frac{1}{sqrt(2)} + (2sin(\theta) - 2)*(\frac{1}{sqrt(2)})]*2 d\theta =$
$= 2*\int_{0}^{2\pi} [3sqrt(2)sin(\theta) - sqrt(2)] d\theta = -4sqrt(2)\pi$

Ditemi, gentilmente, se è giusto come l'ho risolto, oppure se sbaglio qualcosa. Ringrazio fin da ora tutti quelli che vorranno aiutarmi. Ciao

[sk8erboy84]

Ciao a tutti! Nessuno sa darmi qualche dritta su un esercizio del genere?! Girando un po' su internet non ne ho trovato neanche uno simile... Grazie in anticipo