Esercizio integrale di superficie

[varanumber3]

Ciao a tutti, è il mio primo post, chiedo scusa se stecco qualcosa anche se ho letto il regolamento.
Ho un problema col seguente esercizio: Sia $ Sigma =((x,y,z):(x-2z)^2+(y-z)^2+(x+z)^2<=4, x+y+2z=1) $ .
Calcolare $ int_(Sigma )^() z dS $

Si nota che l'insieme è unione di una sfera e un piano. Per come è scritta la sfera ho pensato di semplificarla così:
$ { ( a=x-2z),( b=y-z ),( c=x+z ):} $ ma poi non mi riesce di trovare la parametrizzazione del piano. Non penso sia la strada giusta.
Oppure posso esplicitare $ z=(1-x-y)/2 $ ma sostituendo nella sfera non viene una cosa semplice.

Grazie per l'aiuto!!

[quantunquemente]

"dennyx4":Si nota che l'insieme è unione di una sfera e un piano

no ,è la parte del piano $x+y+2z=1$ i cui punti verificano la disuguaglianza scritta
si potrebbe calcolare $z$ in funzione delle altre 2 variabili e vedere qual è la proiezione dell'insieme sul piano $z=0$
ma mi sa che viene fuori una cosa antipatica

[varanumber3]

Si in effetti non è nemmeno una sfera, è un ellissoide! Ho proiettato sul piano xy e si ha
$ { ( y=1-x ),( x^2/2 +y^2/4 <=1 ):} $
quindi un ellisse tagliata da una retta.
A questo punto mi blocco, la mia idea sarebbe quella di provare a trasformare l'ellissoide i sfera e trovare il cerchio che si ha intersecando sfera e piano così da calcolarne l'area (che se non ho capito male sarebbe l'integrale richiesto). Però sarebbe da fare trovando gli estremi di integrazione.
Qualcuno ha idee sulla trasformazione?