Esercizio integrale

[FinixFighter]

Ciao ragazzi, sto avendo a che fare con questo integrale:
$ int_(0)^(pi/2) sin(x)/sqrt(cos(x)) dx $
Se non sbaglio l'integrale è un integrale improprio e abbiamo un problema in $ x=pi/2 $ .
Io ho posto che $ sqrt(cos(x))~ cos(x) $ per x che tende a $ pi/2 $
Solo che a questo punto mi sono bloccato e non so come procedere. Sapreste aiutarmi?

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

Si tratta di un integrale immediato perché si può scrivere nella forma seguente:

$- \int [f(x)]^a f'(x) dx = - \frac{[f(x)]^{a + 1}}{a + 1} + c $

con $f(x) = cos x $ e $a = -1/2 $, per cui si ha:

$\int (sin x)/sqrt{cos x} dx = - 2\sqrt{cos x} + c $

Quindi l'integrale definito proposto si calcola facilmente:

$ \int_0^{\pi/2} (sin x)/sqrt{cos x} dx = [- 2\sqrt{cos x}]_0^{\pi/2} = 2 $

[FinixFighter]

Grazie mille! Per caso sapresti anche come dimostrarne la convergenza tramite il criterio del confronto asintotico?