Esercizio funzioni $H^1_0(0,1)$
ciao a tutti dovrei dimostrare per esercizio che il funzionale
$\Phi(u)=\frac{1}{2}\int^1_0 |u|^2 - \int^1_0 |u|^3$, con $u\in H^1_0(0,1)$ non è limitato inferiormente
io però dimostro tutto il contrario in quanto $H^1_0(0,1)\subset L^{\infty}(0,1)$ e quindi mi risulta
$\Phi(u)\geq (\frac{1}{2}-C||u||_{L^{\infty}})||u' ||_{L^2}$
utilizzando anche la disuguaglianza di poincarè.
Dove sbaglio? grazie a tutti.
$\Phi(u)=\frac{1}{2}\int^1_0 |u|^2 - \int^1_0 |u|^3$, con $u\in H^1_0(0,1)$ non è limitato inferiormente
io però dimostro tutto il contrario in quanto $H^1_0(0,1)\subset L^{\infty}(0,1)$ e quindi mi risulta
$\Phi(u)\geq (\frac{1}{2}-C||u||_{L^{\infty}})||u' ||_{L^2}$
utilizzando anche la disuguaglianza di poincarè.
Dove sbaglio? grazie a tutti.
Risposte
1) Sicuro che il funzionale sia quello? (Lo chiedo perché non compare nessuna derivata.)
2) Supponendo che la tua stima sia corretta, non hai dimostrato che il funzionale è limitato inferiormente (ma solo che è finito in ogni punto).
2) Supponendo che la tua stima sia corretta, non hai dimostrato che il funzionale è limitato inferiormente (ma solo che è finito in ogni punto).
si si il funzionale è quello. ho pensato poi che effettivamente la stima dal basso non è fissa e dipende dalla funzione $u$. quindi se prendo una specie di successione di mollificatori traslata da zero e stretchata, siccome il funzionale è continuo (quindi semicontinuo inferiormente) risulta:
\[
\liminf (\frac{1}{2}−C||u||_{L^{\infty}})∣∣u′∣∣_{L^2}\geq \Phi(liminf u_n)
\]
quindi andando a meno infinito il limite a sinistra (dato che i mollificatori hanno supp e derivata che esplodono)
vedo che il funzionale non è inferiromente limitato. può essere?
\[
\liminf (\frac{1}{2}−C||u||_{L^{\infty}})∣∣u′∣∣_{L^2}\geq \Phi(liminf u_n)
\]
quindi andando a meno infinito il limite a sinistra (dato che i mollificatori hanno supp e derivata che esplodono)
vedo che il funzionale non è inferiromente limitato. può essere?
Beh, se il funzionale è quello si vede facilmente che non è limitato inferiormente.
Costruisci una successione di funzioni \((u_n)\) tale che \(u_n\) valga "circa" \(n\); poiché devi tener conto delle condizioni al bordo, fai in modo che il grafico di \(u_n\) sia un trapezio (esclusa la base che è il segmento \([0,1]\) sull'asse \(x\)) di altezza \(n\) e con i lati obliqui i pendenza \(\pm n\). Avrai che
\[
\int_0^1 |u_n|^2 \sim n^2, \qquad
\int_0^1 |u_n|^3 \sim n^3,
\]
dunque \(\Phi(u_n) \to -\infty\) per \(n\to +\infty\).
Costruisci una successione di funzioni \((u_n)\) tale che \(u_n\) valga "circa" \(n\); poiché devi tener conto delle condizioni al bordo, fai in modo che il grafico di \(u_n\) sia un trapezio (esclusa la base che è il segmento \([0,1]\) sull'asse \(x\)) di altezza \(n\) e con i lati obliqui i pendenza \(\pm n\). Avrai che
\[
\int_0^1 |u_n|^2 \sim n^2, \qquad
\int_0^1 |u_n|^3 \sim n^3,
\]
dunque \(\Phi(u_n) \to -\infty\) per \(n\to +\infty\).
grazie mille effettivamente cosi è molto piu facile. ma l altro ragionamento è anche giusto? grazie ancora ciao.
Non ho capito bene il tuo ragionamento, ma partendo da una stima dal basso del funzionale è difficile dimostrare che non è limitato inferiormente.
è che effettivamente avevo scritto male il funzionale... scusami. quello giusto è:
$\Phi(u)=\frac{1}{2}\int^1_0 |u'|^2 - \int^1_0 |u|^3$, con $u\in H^1_0(0,1)$
quindi ho quella stima dal basso che mi diventa dall alto grazie alla semicontinuità inferiore e al passaggio che ho scritto nel secondo post.. non so se cosi è piu chiaro.
-edit-
e non so neanche se è giusto...
-edit-
i passaggi che ho fatto per arrivare a quella stima sono utilizzando il th di immersione continua nelle $C(\bar{I})$ e la disug di poincarè:
$\frac{1}{2}\int^1_0 |u'|^2 - \int^1_0 |u|^3\geq \frac{1}{2}||u'||_{L^2}-||u||_\infty||u||_{L^2}\geq (1/2-c||u||_{L^\infty})||u'||_{L^2}$
$\Phi(u)=\frac{1}{2}\int^1_0 |u'|^2 - \int^1_0 |u|^3$, con $u\in H^1_0(0,1)$
quindi ho quella stima dal basso che mi diventa dall alto grazie alla semicontinuità inferiore e al passaggio che ho scritto nel secondo post.. non so se cosi è piu chiaro.
-edit-
e non so neanche se è giusto...
-edit-
i passaggi che ho fatto per arrivare a quella stima sono utilizzando il th di immersione continua nelle $C(\bar{I})$ e la disug di poincarè:
$\frac{1}{2}\int^1_0 |u'|^2 - \int^1_0 |u|^3\geq \frac{1}{2}||u'||_{L^2}-||u||_\infty||u||_{L^2}\geq (1/2-c||u||_{L^\infty})||u'||_{L^2}$
Prova con profili triangolari: \(u_n\) affine a tratti con \(u_n(0) = u_n(1) = 0\), \(u_n(1/2) = n\).
si il tipo di successione l avevo capito, è che volevo sapere se effettivamente la stima dal basso diventava dall alto con la semicontinuità inferiore
No.
e allora non ho capito come faccio a provare che non è limitato inferiormente..
Mostri che esiste una successione \((u_n)\subset H^1_0(0,1)\) (ad esempio, quella che ti ho suggerito prima) tale che
\[
\lim_{n\to\infty} \Phi(u_n) = -\infty.
\]
\[
\lim_{n\to\infty} \Phi(u_n) = -\infty.
\]
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