Esercizio: funzione in $RR^n$
Salve ragazzi!! E' da poco cominciato il corso di analisi 2 e devo dire che l'impatto con questa parte della disciplina mi ha dato non pochi problemi! Il prof ci ha ssegnato la risoluzione di una funzione... più precisamente mi si chiede di calcolare la funzione composta e determinare se è continua sul dominio. Mi spiego meglio:
Io ho $f:RR^n\{0}->RR$, $f(x)=1/(||x||)$
So che per calcolare la funzione composta ho bisogno che $f$ appartenga al doimnio della $g$ ma non riesco proprio a risolvere!! inoltre ho notato che la funzione fa parte della categoria di funzioni scalari, per caso c'è un metodo diverso per determinare funzioni composte verso $RR$??
Ho difficoltà nel calcolare la funzione composta e credo che per la continuità non abbia problemi!! Sapreste aiutarmi perfavore??
P.S. Quello al denominatore è norma di x!! non so se ho scritto bene in ASCIIMath!!
Posto il mio ragionamento:
Ho provato a ragionare al contrario. Cioè ho cercato di determinare la funzione composta $f(g(x))$ e non $g(f(x))$.
Ho riscritto la funzione come:
$f(x)=1/(sqrt(x*x))=1/(sqrt(x^2+x^2))=1/(sqrt(2x^2))$ ed ho posto $g(x)=sqrt(2x^2)$ non so se è giusto il ragionamento ne tantomeno ciò che ho scritto!! se ho scritto qualche eresia vi prego di perdonarmi e di correggermi!!
Grazie in anticipo!!
Io ho $f:RR^n\{0}->RR$, $f(x)=1/(||x||)$
So che per calcolare la funzione composta ho bisogno che $f$ appartenga al doimnio della $g$ ma non riesco proprio a risolvere!! inoltre ho notato che la funzione fa parte della categoria di funzioni scalari, per caso c'è un metodo diverso per determinare funzioni composte verso $RR$??
Ho difficoltà nel calcolare la funzione composta e credo che per la continuità non abbia problemi!! Sapreste aiutarmi perfavore??
P.S. Quello al denominatore è norma di x!! non so se ho scritto bene in ASCIIMath!!
Posto il mio ragionamento:
Ho provato a ragionare al contrario. Cioè ho cercato di determinare la funzione composta $f(g(x))$ e non $g(f(x))$.
Ho riscritto la funzione come:
$f(x)=1/(sqrt(x*x))=1/(sqrt(x^2+x^2))=1/(sqrt(2x^2))$ ed ho posto $g(x)=sqrt(2x^2)$ non so se è giusto il ragionamento ne tantomeno ciò che ho scritto!! se ho scritto qualche eresia vi prego di perdonarmi e di correggermi!!
Grazie in anticipo!!
Risposte
ma $x^2$ non è uguale a $x^2+x^2$! _peraltro, a che servirebbe
quel fattore $2$?
quel fattore $2$?
Ma qual è la funzione $g$? Non sono riuscito assolutamente a seguire i tuoi ragionamenti e in realtà nemmeno a capire bene cosa chiede l'esercizio. Che vuol dire "calcolare la funzione composta"?
yellow la $g$ è la funzione che devo determinare(ricavarmi) per poi dimostrare che $f(x)=....$ è continua sul dominio!! ho provato con il test delle rette ma come ha detto il mio prof questo non basta per dimostrare che è continua!! e comunque non risolvo il mio problema perchè lui ha detto che dobbiaom dimostrarlo tramite funzione composta!! cioè l'argomento che ci ha spiegato è la dimostrazione che anche in $RR^n$ se due funzioni sono continue allora anche la funzione composta è continua!! hai capito?
Ho anche un esempio che ci ha mostrato in aula ma in quell'esempio la $g(x)$ è determinata qui invece non ce l'ho!!
Il prof disse che dovevamo scrivere questa funzione come composizione di funzioni!! ma non mi è ben chiaro come fare!!
Ho anche un esempio che ci ha mostrato in aula ma in quell'esempio la $g(x)$ è determinata qui invece non ce l'ho!!
Il prof disse che dovevamo scrivere questa funzione come composizione di funzioni!! ma non mi è ben chiaro come fare!!
Come dici hai composizioni di funzioni.
Una è $h(x)=||x||_2=sqrt(x_1^2+...+x_n^2)$ definita in $RR^n\\{0}$ con immagine in $(0,+infty)$;
l'altra è $g(x)=1/x$ definta da $R^+$ in $R^+$
Una è $h(x)=||x||_2=sqrt(x_1^2+...+x_n^2)$ definita in $RR^n\\{0}$ con immagine in $(0,+infty)$;
l'altra è $g(x)=1/x$ definta da $R^+$ in $R^+$
ah si grazie daje potresti però spiegarmi come le hai definite? cioè la funzione $h(x)$ sarebbe la norma e $g(x)$ il rapporto quindi la norma può essere considerata come funzione?
EDIT: altra domanda: ora basta fare l'intersezione tra il dominio e l'antimmagine della funzione...facendo ciò vedo l'intervallo di definizione della funzione composta!! questo basta per dire che $f$ è continua?
EDIT: altra domanda: ora basta fare l'intersezione tra il dominio e l'antimmagine della funzione...facendo ciò vedo l'intervallo di definizione della funzione composta!! questo basta per dire che $f$ è continua?
certo che una norma è una funzione, che va da uno spazio vettoriale (parti ora da $RR^n$, poi lo generalizerai) in $[0,+infty)$, con le tre proprietà della norma.
Ora come dice il tuoprof la composizione di funzioni continue è continua, quindi devi dimostrare che $f$ e $g$ sono continue.
Comunque la tua funzione altro non è che una funzione le cui curve di livello sono le palle di centro l'origine e man mano che ti avvicini all'origine, cresce.
Immaginala con n=2, è una sorta di montagna e lecurve di livello sono cerchi.
Ora come dice il tuoprof la composizione di funzioni continue è continua, quindi devi dimostrare che $f$ e $g$ sono continue.
Comunque la tua funzione altro non è che una funzione le cui curve di livello sono le palle di centro l'origine e man mano che ti avvicini all'origine, cresce.
Immaginala con n=2, è una sorta di montagna e lecurve di livello sono cerchi.
si grazie daje ricordo che il prof parlò di "palle"!! solo che non hai risposto alla mia ultima domanda!! posso dire una volta determinato:
$A=Dnnf^(-1)$ la funzione è continua?
P.S. in che senso poi generalizzerò la funzione norma? cioè $RR^n$ non è già generalizzato all'ennesima dimensione?
$A=Dnnf^(-1)$ la funzione è continua?
P.S. in che senso poi generalizzerò la funzione norma? cioè $RR^n$ non è già generalizzato all'ennesima dimensione?
Ma non mi è chiaro bene quello che vuoi dire.
Cosa intendi con $f^(-1)$; si la controimmgaine, ma di che cosa?
Comunque ti ho detto la composizione di funzioni continue è continua e quindi devi dimostrare che f e g sono continue (cosa che è immediata).
Al tuo PS dico: certo diciamo che $RR^n$ è la forma base di spazio vettoriale, a partire da proprietà che possiedono questi spazi sono poi stati costruiti spazi più generali dove viene definita una norma.
Cosa intendi con $f^(-1)$; si la controimmgaine, ma di che cosa?
Comunque ti ho detto la composizione di funzioni continue è continua e quindi devi dimostrare che f e g sono continue (cosa che è immediata).
Al tuo PS dico: certo diciamo che $RR^n$ è la forma base di spazio vettoriale, a partire da proprietà che possiedono questi spazi sono poi stati costruiti spazi più generali dove viene definita una norma.
allora daje mi spiego meglio:
Il prof ha detto ke: Sia $f:DsubeRR^n->RR^m$ e sia $g:EsubeRR^m->RR^p$. La funzione composta $g(f(x))$ con $f(x) in E$ ha per dominio l'insieme $A=Dnnf^(-1)(E)$.
Quello che io mi kiedo è: una volta determinato l'insieme A posso trnquillamente dire che essendo funzioni continue quelle definite è anche continua la composta? altrimenti come devo dimostrarlo?applicando la definizione di continuità in $RR^n$?
P.S. non colgo l'immediatezza della continuità di f e g!! devo sempre dimostrarlo con la definizione?
Il prof ha detto ke: Sia $f:DsubeRR^n->RR^m$ e sia $g:EsubeRR^m->RR^p$. La funzione composta $g(f(x))$ con $f(x) in E$ ha per dominio l'insieme $A=Dnnf^(-1)(E)$.
Quello che io mi kiedo è: una volta determinato l'insieme A posso trnquillamente dire che essendo funzioni continue quelle definite è anche continua la composta? altrimenti come devo dimostrarlo?applicando la definizione di continuità in $RR^n$?
P.S. non colgo l'immediatezza della continuità di f e g!! devo sempre dimostrarlo con la definizione?
Quindi $f=||x||$ ($D=R^n$); e $g=1/x$ ($E=RR\\{0}$); $f^(-1)(E)\ =\ RR^n\\{0}$ quest'ultimo è dunque il dominio della composizione.
Come ti ho detto se hai due funzioni continue su due determinati dominii la loro composizione (deve essere ben definita) è continua.
Quindi devi dimostrare che f e g sono continue.
Come fare questo? O per definizione ovvero prendi la definizione di continuità e la verifichi con lefunzioni specifiche;oppure utilizzando teoremi che implicano la continuità.
Se hai fatto analisi uno sai che se una funzione è derivabile allora è continua e quindi con g hai fatto, vedi che riesci a fare con la definizione di limite su f.
Come ti ho detto se hai due funzioni continue su due determinati dominii la loro composizione (deve essere ben definita) è continua.
Quindi devi dimostrare che f e g sono continue.
Come fare questo? O per definizione ovvero prendi la definizione di continuità e la verifichi con lefunzioni specifiche;oppure utilizzando teoremi che implicano la continuità.
Se hai fatto analisi uno sai che se una funzione è derivabile allora è continua e quindi con g hai fatto, vedi che riesci a fare con la definizione di limite su f.
ok grazie mille daje!! 
credo ke lo dimostrerò con la solita definizione con $\epsilon$ e $\delta$ perchè il prof ha detto che dovremo familiarizzare con questi!! se ho problemi posto sempre qui!! ah un altra domanda: per far si ke f sia ben definita basta scrivere quello che hai scritto nel post poco fa oppure bisogna fare anche per quello una dimostrazione? sai il prof a noi ha fatto un esempio con tutte le dimensioni $m=n=p=1$ quindi non so proprio come muovermi con dimensioni diverse!! 
credo ke lo dimostrerò con la solita definizione con $\epsilon$ e $\delta$ perchè il prof ha detto che dovremo familiarizzare con questi!! se ho problemi posto sempre qui!! ah un altra domanda: per far si ke f sia ben definita basta scrivere quello che hai scritto nel post poco fa oppure bisogna fare anche per quello una dimostrazione? sai il prof a noi ha fatto un esempio con tutte le dimensioni $m=n=p=1$ quindi non so proprio come muovermi con dimensioni diverse!!
ciao daje, oggi il prof ha mostrato la risoluzione di questo esercizio e devo dirti che ha suscitato in me altri dubbi!! io ho provato a dimostrarlo con la definizione di continuità e tuttavia non è uscito lo stesso risultato di oggi!!
Per chiarezza posto la dimostrazione che ha fatto il prof ed evidenzio il punto in cui non riesco a capire il ragionamento!!
Dimostrazione: $f:RR^n\{0}->RR$, $f(x)=1/(||x||)$ dimostrare che f è continua sul dominio.
il Prof ha considerato esattamente le tue stesse funzioni e fin qui mi trovo:
$g:RR\{0}->RR, y->g(y)=1/y$ e $h:RR^n->RR, x->h(x)=||x||$
Dopodichè il prof ha considerato questa proprietà:
$| ||x||-||y|| |<=||x-y||$ che somiglia molto alla proprietà di Lipschitzianità del valore assoluto ma comunque non capisco perchè solo grazie a questa proprietà si può affermare che la funzione è continua saresti così gentile da spiegarmelo??
Grazie in anticipo!![/chessgame]
Per chiarezza posto la dimostrazione che ha fatto il prof ed evidenzio il punto in cui non riesco a capire il ragionamento!!
Dimostrazione: $f:RR^n\{0}->RR$, $f(x)=1/(||x||)$ dimostrare che f è continua sul dominio.
il Prof ha considerato esattamente le tue stesse funzioni e fin qui mi trovo:
$g:RR\{0}->RR, y->g(y)=1/y$ e $h:RR^n->RR, x->h(x)=||x||$
Dopodichè il prof ha considerato questa proprietà:
$| ||x||-||y|| |<=||x-y||$ che somiglia molto alla proprietà di Lipschitzianità del valore assoluto ma comunque non capisco perchè solo grazie a questa proprietà si può affermare che la funzione è continua saresti così gentile da spiegarmelo??
Grazie in anticipo!![/chessgame]
Alora la funzione f è la composizione, visto il teorema sulla continuità della composizione, se dimostriamo la continuità delle due funzioni siamo a posto.
per g non abbiamo problemi (avremmo un problema in 0 ma 0 non è nel dominio della nostra funzione).
Potresti vedere, tanto per allenarti, di verificare la condizione di continuità (in un punto x in (0,+inf)), e vedere per esempio, se conosci la definizione, se tale funzione è uniformemente continua.
Per quanto riguarda la seconda (la norma):
quella disuguaglianza si chiama disuguaglianza triangolare inversa, ed è verificata da ogni norma (perchè discende immediatamente dalla disuguaglianza triangolare).
Adesso considera lo spazio normato $(RR^n,||x||_2)$ ovvero lo spazio $RR^n$ con la norma euclidea.
Considera la funzione data dalla norma stessa: prova a verificare se questa funzione (con gli aperti definiti dalla metrica indotta dalla norma (la metrica è definita come $d(x,y)=||x-y||$) è Lipschitziana.
A questo punto devi conoscere il legame tra Lipschitzianità e varie forme di continuità.
Ora magari ci sono un po'di cose che ancora bìnon conosci ma che incontrerai più avanti nel corso; comunque prova a familiarizarti con queste cose;
se hai problemi io sono qua.
per g non abbiamo problemi (avremmo un problema in 0 ma 0 non è nel dominio della nostra funzione).
Potresti vedere, tanto per allenarti, di verificare la condizione di continuità (in un punto x in (0,+inf)), e vedere per esempio, se conosci la definizione, se tale funzione è uniformemente continua.
Per quanto riguarda la seconda (la norma):
quella disuguaglianza si chiama disuguaglianza triangolare inversa, ed è verificata da ogni norma (perchè discende immediatamente dalla disuguaglianza triangolare).
Adesso considera lo spazio normato $(RR^n,||x||_2)$ ovvero lo spazio $RR^n$ con la norma euclidea.
Considera la funzione data dalla norma stessa: prova a verificare se questa funzione (con gli aperti definiti dalla metrica indotta dalla norma (la metrica è definita come $d(x,y)=||x-y||$) è Lipschitziana.
A questo punto devi conoscere il legame tra Lipschitzianità e varie forme di continuità.
Ora magari ci sono un po'di cose che ancora bìnon conosci ma che incontrerai più avanti nel corso; comunque prova a familiarizarti con queste cose;
se hai problemi io sono qua.
ok grazie daje!! per quanto riguarda l'uniforme continuità non so farlo invece per la Lipschitzianità come faccio?? l'algoritmo di risoluzione è uguale a quello per il valore assoluto?
Sarebbe meglio se iniziassi a vedere queste cose, l'uniforme continuità
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity
La differenza tra continuità in un punto (estesa ad un intervallo, ovvero per ogni punto di (a,b) verifichi che g è continua puntualmente) e continuità uniforme risiede nel fatto che la scelta del delta (di quanto devi essere vicino nel dominio per far si che la funzione non si discosti più di e>0) non dipende dal punto in cui ti trovi;
è quindi una condizione non locale (devi trovare un delta unico buono per ogni scelta di x in (a,b)).
Per la Lipscitzianità, questa è la definizione
http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity
ed esprime una forma di continuità ancora più forte della continuità puntuale (ed anche di altre che però è meglio ora non richiamare se no troppa carne al fuoco rischia di confonderti).
Per verificarla è immediato se metti nelle definizioni gli ogetti particolari del nostro caso.
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity
La differenza tra continuità in un punto (estesa ad un intervallo, ovvero per ogni punto di (a,b) verifichi che g è continua puntualmente) e continuità uniforme risiede nel fatto che la scelta del delta (di quanto devi essere vicino nel dominio per far si che la funzione non si discosti più di e>0) non dipende dal punto in cui ti trovi;
è quindi una condizione non locale (devi trovare un delta unico buono per ogni scelta di x in (a,b)).
Per la Lipscitzianità, questa è la definizione
http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity
ed esprime una forma di continuità ancora più forte della continuità puntuale (ed anche di altre che però è meglio ora non richiamare se no troppa carne al fuoco rischia di confonderti).
Per verificarla è immediato se metti nelle definizioni gli ogetti particolari del nostro caso.
daje credo di aver fatto al prima veid se è corretto:
la definizione dice che: $AA\epsilon>0, EE\delta>0 : |x_1-x_2|<\delta, |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$
quindi a noi sarà:$AA\epsilon>0, EE\delta>0 : |1/(||x||)-1/(||y||)|<\epsilon, |x-y|<\delta$
Giusto? ora come lo sviluppo?
EDIT: credo di essere arrivato alla conclusione del primo punto!
sviluppando ho che: $ \epsilon>|1/(||x||)-1/(||y||)|=| ||y||-||x|| |= ||y-x||=||x-y||<\delta$
ricordo che a lezione il prof risolveva tutto ponendo $\delta=\epsilon$ puoi dirmi se è giusto?
N.B. scusa l'uguaglianza in mezzo sarebbe il modulo della differenza delle norme!! XD
la definizione dice che: $AA\epsilon>0, EE\delta>0 : |x_1-x_2|<\delta, |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$
quindi a noi sarà:$AA\epsilon>0, EE\delta>0 : |1/(||x||)-1/(||y||)|<\epsilon, |x-y|<\delta$
Giusto? ora come lo sviluppo?
EDIT: credo di essere arrivato alla conclusione del primo punto!
sviluppando ho che: $ \epsilon>|1/(||x||)-1/(||y||)|=| ||y||-||x|| |= ||y-x||=||x-y||<\delta$
ricordo che a lezione il prof risolveva tutto ponendo $\delta=\epsilon$ puoi dirmi se è giusto?
N.B. scusa l'uguaglianza in mezzo sarebbe il modulo della differenza delle norme!! XD
ma vuoi dimostrare la continuità della composizione direttamente o delle due singole (se ci ragioni un attimo poi ti renderai conto che per provare la continuità della composizione dovrai passare per la dimostarzione della continuità delle due).
Questa è la definizione di uniforme continuità
Io ti avevo detto di dimostare che $1/x$ in $(0,infty)$ è continua ma non uniformemente continua.
La definizione di continuità in un punto $x_0$ è:
$AA epsilon>0\ EE delta>0 " tale che " d_1(x,x_0)
Ti ho messo $d_1$ e $d_2$ perchè questi stanno a significare due metriche rispettivamente per dominio e codominio.
Quindi se hai uan funzione da $RR^n$ in $RR^m$ dovrai mettere delle distanze che la vorano in questi due spazi; ad esempio puoi dire $d_1$ distanza euclidea su $RR^n$; $d_2$ distanza euclidea su $RR^m$. Lo ho messo per farti notare che nella tua scrittura (il testo che ho citato) hai messo $|x_1-x_2|
Secondo: hai compreso la differenza tra continuità puntuale ed uniforme? Nella definizione di continuità puntuale fissi prima un punto poi un e>0, e quindi vedi se c'è o no (esiste) il delta. Fissi poi un altro punto, fissi e>0 e vedi se c'è il delta. I delta di questi due casi possono essere diversi, nell'uniforme invece cerchi un delta solo, ovvero fissi e>0, vedi se trovi un delta tale che, fissato x_0 in un certo insieme, è verificata la continuità.
Quyesto ti fa capire che se una funzione è uniformemente continua allora è continua in ogni punto dove è uniformemente continua. Infatti fissato un punto $x_0$ e fissato e>0, se unif continua, allora scelgo delta come quello dell'uniforme continuità.
Il viceversa in generale è falso.
Il controesempio è la funzione $1/x$ in $(0,infty)$.
Ora come dimostri che è continua in $x_0>0$
fissi e>0 consideri un punto x>0 vicino a x_0. questo sarà un po' a sinistar un po a destra di x_0 (questo in più dimensioni perde efficacia)
$|f(x)-f(x_0)|=|1/x-1/(x_0)|=A$
Prendi xx_0/(1+x_0 epsilon)=delta_1$ ottieni dunque che se $x in (delta_1,x_0)$ questa è verificata, lo stesso fai per l'altro caso. (controlla che non abbia sbagliato l'algebra)
Ti faccio notare che l'intorno (il delta) dipende dal punto x_0; quindi l'uniforme continuità? (a te lascio i ragionamenti)
In sostanza osservi che la quantità a la puoi rendere piccola a tuo piacimento agendo su $x$
Nei passaggi dopo non ho ben capito quello che hai fatto però non mi da molta confidenza.
Questa è la definizione di uniforme continuità
"paolotesla91":
la definizione dice che: $AA\epsilon>0, EE\delta>0 : |x_1-x_2|<\delta, |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$
Io ti avevo detto di dimostare che $1/x$ in $(0,infty)$ è continua ma non uniformemente continua.
La definizione di continuità in un punto $x_0$ è:
$AA epsilon>0\ EE delta>0 " tale che " d_1(x,x_0)
Ti ho messo $d_1$ e $d_2$ perchè questi stanno a significare due metriche rispettivamente per dominio e codominio.
Quindi se hai uan funzione da $RR^n$ in $RR^m$ dovrai mettere delle distanze che la vorano in questi due spazi; ad esempio puoi dire $d_1$ distanza euclidea su $RR^n$; $d_2$ distanza euclidea su $RR^m$. Lo ho messo per farti notare che nella tua scrittura (il testo che ho citato) hai messo $|x_1-x_2|
Secondo: hai compreso la differenza tra continuità puntuale ed uniforme? Nella definizione di continuità puntuale fissi prima un punto poi un e>0, e quindi vedi se c'è o no (esiste) il delta. Fissi poi un altro punto, fissi e>0 e vedi se c'è il delta. I delta di questi due casi possono essere diversi, nell'uniforme invece cerchi un delta solo, ovvero fissi e>0, vedi se trovi un delta tale che, fissato x_0 in un certo insieme, è verificata la continuità.
Quyesto ti fa capire che se una funzione è uniformemente continua allora è continua in ogni punto dove è uniformemente continua. Infatti fissato un punto $x_0$ e fissato e>0, se unif continua, allora scelgo delta come quello dell'uniforme continuità.
Il viceversa in generale è falso.
Il controesempio è la funzione $1/x$ in $(0,infty)$.
Ora come dimostri che è continua in $x_0>0$
fissi e>0 consideri un punto x>0 vicino a x_0. questo sarà un po' a sinistar un po a destra di x_0 (questo in più dimensioni perde efficacia)
$|f(x)-f(x_0)|=|1/x-1/(x_0)|=A$
Prendi x
Ti faccio notare che l'intorno (il delta) dipende dal punto x_0; quindi l'uniforme continuità? (a te lascio i ragionamenti)
In sostanza osservi che la quantità a la puoi rendere piccola a tuo piacimento agendo su $x$
Nei passaggi dopo non ho ben capito quello che hai fatto però non mi da molta confidenza.
si daje credo di aver capito ma in base a cosa fisso il mio punto? cioè la scelta è arbitraria ho devo seguire un ragionamento preciso?? cioè il mio $x_0$ a cosa sarà uguale in entrambi i casi (potresti farmi un esempio con l'esercizio che ho postato)??
Setta [tex]f(x)=1/x[/tex], definita in [tex]I=(0,\infty)[/tex].
Vogliamo vedere che è continua in I.
Fissa un punto [tex]x_0 \in I[/tex] ed un [tex]\epsilon>0[/tex].
Considera [tex]A(x_0,x)=|\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}|=\frac{|x_0-x|}{x_0x}<\epsilon[/tex]; ottieni [tex]x>\frac{x_0}{1+\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0>x[/tex] e [tex]x<\frac{x_0}{1-\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0
e dunque quello è l'intorno di [tex]x_0[/tex].
Il [tex]\delta_{\epsilon,x_0}[/tex] è uguale a [tex]\frac{\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0}[/tex], come vedi dipende anche da [tex]x_0[/tex] nel senso che se ti avvicini 0 il delta ti converge a 0.
Inoltre se consideri [tex]I_a(a,\infty);\ a>0[/tex] hai che [tex]\forall x,y \in I_a \qquad A(x,y) \leq \frac{1}{a^2}|x-y|[/tex].
Non è ovviamente uniformemente continua in [tex]I[/tex].
Per vederlo fissa [tex]\epsilon>0[/tex], e considera [tex]\delta^{\star}_\epsilon[/tex], un generico [tex]\delta_\epsilon[/tex] che soddisfa l'uniforme continuità; considera [tex]0
Considera invece [tex]f(x)=||x||_2[/tex] in [tex]R^n[/tex] con la metrica indotta dalla norma euclidea.
Discende immediatamente per definizione che esiste [tex]L>0[/tex] tale che [tex]|\ ||x||_2-||y||_2\ | \leq L ||x-y||_2; \quad\forall x,y \in R^n[/tex].
Vogliamo vedere che è continua in I.
Fissa un punto [tex]x_0 \in I[/tex] ed un [tex]\epsilon>0[/tex].
Considera [tex]A(x_0,x)=|\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}|=\frac{|x_0-x|}{x_0x}<\epsilon[/tex]; ottieni [tex]x>\frac{x_0}{1+\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0>x[/tex] e [tex]x<\frac{x_0}{1-\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0
e dunque quello è l'intorno di [tex]x_0[/tex].
Il [tex]\delta_{\epsilon,x_0}[/tex] è uguale a [tex]\frac{\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0}[/tex], come vedi dipende anche da [tex]x_0[/tex] nel senso che se ti avvicini 0 il delta ti converge a 0.
Inoltre se consideri [tex]I_a(a,\infty);\ a>0[/tex] hai che [tex]\forall x,y \in I_a \qquad A(x,y) \leq \frac{1}{a^2}|x-y|[/tex].
Non è ovviamente uniformemente continua in [tex]I[/tex].
Per vederlo fissa [tex]\epsilon>0[/tex], e considera [tex]\delta^{\star}_\epsilon[/tex], un generico [tex]\delta_\epsilon[/tex] che soddisfa l'uniforme continuità; considera [tex]0
Considera invece [tex]f(x)=||x||_2[/tex] in [tex]R^n[/tex] con la metrica indotta dalla norma euclidea.
Discende immediatamente per definizione che esiste [tex]L>0[/tex] tale che [tex]|\ ||x||_2-||y||_2\ | \leq L ||x-y||_2; \quad\forall x,y \in R^n[/tex].
scusami daje ma della tua dimostrazione sono riuscito a capire fino ad un certo punto!!
Allora ricapitolo un attimo il tutto: per dimostrare che la funzione è continua sul suo dominio ho bisogno di dimostrare che le due funzioni: $g$ e $h$ sono continue sul loro dominio e fin qui ci sono!!
Ora per dimostrare ciò devo applicare la definizione di continuità, e qui sta il problema, ora posto la definizione che ci ha dato il prof a lezione e così mi aiuti a capire prima di tutto se è puntuale e poi come si applica.
Definizioni: Sia $f:DsubeRR^n->RR^m$; $g:EsubeRR^m->RR^p$;
sia $A=Dnnf^(-1)(E)$; sia $x^neg in A$; sia $y^neg=f(x^neg)$. Se f è continua in $x^neg$ e g è continua in $y^neg$ allora $g(f)$ (g composto f) è continua in $x^neg$.
Definizione di continuità:
Sia $\epsilon>0$, $g$ è cont. in $y^neg$ $=>$ $EE \rho>0: ||g(y)-g(y^neg)||<\epsilon, AA y in E: ||y-y^neg||<\rho$
So che f è continua in $x^neg$ allora: $EE \delta>0: ||f(x)-f(x^neg)||<\rho, AA x in D: ||x-x^neg||<\delta$.
Quindi se $x in A$ e $||x-x^neg||<\delta => ||g(f(x))-g(f(x^neg))||<\epsilon$
N.B. con il simbolo negazione intendo dire un x,y barrati!!! non sapevo come indicarli in formule XD!
Allora ricapitolo un attimo il tutto: per dimostrare che la funzione è continua sul suo dominio ho bisogno di dimostrare che le due funzioni: $g$ e $h$ sono continue sul loro dominio e fin qui ci sono!!
Ora per dimostrare ciò devo applicare la definizione di continuità, e qui sta il problema, ora posto la definizione che ci ha dato il prof a lezione e così mi aiuti a capire prima di tutto se è puntuale e poi come si applica.
Definizioni: Sia $f:DsubeRR^n->RR^m$; $g:EsubeRR^m->RR^p$;
sia $A=Dnnf^(-1)(E)$; sia $x^neg in A$; sia $y^neg=f(x^neg)$. Se f è continua in $x^neg$ e g è continua in $y^neg$ allora $g(f)$ (g composto f) è continua in $x^neg$.
Definizione di continuità:
Sia $\epsilon>0$, $g$ è cont. in $y^neg$ $=>$ $EE \rho>0: ||g(y)-g(y^neg)||<\epsilon, AA y in E: ||y-y^neg||<\rho$
So che f è continua in $x^neg$ allora: $EE \delta>0: ||f(x)-f(x^neg)||<\rho, AA x in D: ||x-x^neg||<\delta$.
Quindi se $x in A$ e $||x-x^neg||<\delta => ||g(f(x))-g(f(x^neg))||<\epsilon$
N.B. con il simbolo negazione intendo dire un x,y barrati!!! non sapevo come indicarli in formule XD!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo