Esercizio: funzione in $RR^n$

[paolotesla91]

Salve ragazzi!! E' da poco cominciato il corso di analisi 2 e devo dire che l'impatto con questa parte della disciplina mi ha dato non pochi problemi! Il prof ci ha ssegnato la risoluzione di una funzione... più precisamente mi si chiede di calcolare la funzione composta e determinare se è continua sul dominio. Mi spiego meglio:

Io ho $f:RR^n\{0}->RR$, $f(x)=1/(||x||)$

So che per calcolare la funzione composta ho bisogno che $f$ appartenga al doimnio della $g$ ma non riesco proprio a risolvere!! inoltre ho notato che la funzione fa parte della categoria di funzioni scalari, per caso c'è un metodo diverso per determinare funzioni composte verso $RR$??

Ho difficoltà nel calcolare la funzione composta e credo che per la continuità non abbia problemi!! Sapreste aiutarmi perfavore??



P.S. Quello al denominatore è norma di x!! non so se ho scritto bene in ASCIIMath!!

Posto il mio ragionamento:
Ho provato a ragionare al contrario. Cioè ho cercato di determinare la funzione composta $f(g(x))$ e non $g(f(x))$.
Ho riscritto la funzione come:

$f(x)=1/(sqrt(x*x))=1/(sqrt(x^2+x^2))=1/(sqrt(2x^2))$ ed ho posto $g(x)=sqrt(2x^2)$ non so se è giusto il ragionamento ne tantomeno ciò che ho scritto!! se ho scritto qualche eresia vi prego di perdonarmi e di correggermi!!

Grazie in anticipo!!

[DajeForte]

"paolotesla91":Allora ricapitolo un attimo il tutto: per dimostrare che la funzione è continua sul suo dominio ho bisogno di dimostrare che le due funzioni sono continue sul loro dominio e fin qui ci sono!!

Perfetto ma aora perchè dopo continui a provare a dimostrare direttamente che la composizione è continua?
Devi dimostrarlo per le due singole funzioni.
Partiamo da $1/x$. Devi dimostrare quello che hai scritto (che la definizione che ti ha dato il prof per questa funzione è vera).
Quindi vuol dire che fissato un punto e fissato un $epsilon>0$ devi far vedere che questo delta esiste.
Come?

"DajeForte":Setta [tex]f(x)=1/x[/tex], definita in [tex]I=(0,\infty)[/tex].
Vogliamo vedere che è continua in I.
Fissa un punto [tex]x_0 \in I[/tex] ed un [tex]\epsilon>0[/tex].

Considera [tex]A(x_0,x)=|\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x}|=\frac{|x_0-x|}{x_0x}<\epsilon[/tex]; ottieni [tex]x>\frac{x_0}{1+\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0>x[/tex] e [tex]x<\frac{x_0}{1-\epsilon x_0}[/tex] per [tex]x_0
e dunque quello è l'intorno di [tex]x_0[/tex].

Il [tex]\delta_{\epsilon,x_0}[/tex] è uguale a [tex]\frac{\epsilon x_0^2}{1+\epsilon x_0}[/tex]

Quello è un delta che soddisfa la continuità (è "un delta" nel senso che esisto tanti delta che a noi vanno bene, ad esempio una volta che ne hai trovato uno, qualsiasi delta più piccolo ci va bene comunque).
Cioè questo vuol dire che se fissi $x_0$ ed un $epsilon>0$ allora se prendi un qualsiasi punto x sufficientemente vicino a $x_0$ ($forall x " tale che " x in (x_0-delta,x_0+delta)$) allora $|1/x-1/(x_0)|
Quindi con la continuità puntuale di 1/x in (0, infinito) abbiamo fatto.

Per l'altra

"DajeForte":Considera invece [tex]f(x)=||x||_2[/tex] in [tex]R^n[/tex] con la metrica indotta dalla norma euclidea.
Discende immediatamente per definizione che esiste [tex]L>0[/tex] tale che [tex]|\ ||x||_2-||y||_2\ | \leq L ||x-y||_2; \quad\forall x,y \in R^n[/tex].

Questo ti dice f è Lipcthiziana il che implica che f è continua.

Qua l'esercizio si conclude.

Te poi hai scritto:

Quindi se $x in A$ e $||x-x^neg||<\delta => ||g(f(x))-g(f(x^neg))||<\epsilon$

Ma vedi qua torni sulla definizione di continuità della composizione che se noi applichiamo il teorema non ci interessa.

[paolotesla91]

ok grazie mille Daje ho capito finalmente!! solo un problemino XD: non riesco a calcolarmi il $\delta$ della prima!! cioè non mi è chiaro il passaggio che hai fatto per calcolarlo!! adesso provo a fare anke gli altri esercizi se ho problemi posto sempre qui?

[DajeForte]

$A(x,x_0)=|1/x-1/(x_0)|=(|x-x_0|)/(x x_0)$ qua ho solamente svolto la frazione ed ho applicato il fatto che il valore assoluto del rapporto è il rapporto dei valori assoluti (visto che x ed x_0 sono entrambe positivi quello al denominatore lo ho levato).

Ora devi risolvere l'equazione $A(x,x_0) Per farlo distingui i due casi $xx_0$ così da levarti il valore assoluto e la risolvi. (provaci se hai problemi ti farò vedere i passaggi)
Arrivi poi a due vincoli uno a destra di x_0 (caso $x>x_0$) e l'altro a sinistra; puoi notare che i due delta che ti si creano sono diversi, te ovviamente prendi il più piccolo (che corrisponde a quello di sinistra). Chiediti il perchè.

Spero di esserti stato utile, capisco sono tante cose e sembrano slegate tra di loro, ma inizia a sbatterci, prima o poi il mosaico si costruirà di conseguenza.
Se vuoi chiedere ancora chiedi pure (se cambi argomento è meglio se apri un nuovo thread).
Ciao.

[paolotesla91]

scusami se insisto daje ma io mi trovo che: $|1/x-1/x_0|<\epsilon => (|x_0-x|)/(x*x_0)<\epsilon$

Quindi isolo la x mi trovo: $x>(x_0)/(1+\epsilon*x_0)$ ora come distinguo i casi che prima hai accennato??

[DajeForte]

"paolotesla91":scusami se insisto daje

No preoccupe.

$(|x-x_0|)/(x x_0)
Considero prima $x>x_0$ hai che $(|x-x_0|)/(x x_0)
poi $x-x x_0 epsilon=x(1-x_0 epsilon)x_0$
Quindihai l'intorno $(x_0,x_0/(1- x_0 epsilon))$
Lo stesso dall'altro lato

$(|x-x_0|)/(x x_0)
poi $x_0x_0/(1+epsilon x_0)$ nota che $x_0/(1-+x_0 epsilon)
Quindi $(x_0/(1+x_0 epsilon),x_0)$

e quindi l'intorno è $(x_0/(1+x_0 epsilon)\ ,\ x_0/(1-x_0 epsilon))$

[paolotesla91]

ops che stupido che sono XD!!! in realtà li avevo calcolati i due valori ma non mi ero accorto che in effetti $(x_0)/(1-\epsilon*x_0)>x_0$!!! grazie mille daje e chiedo ancora scusa per la distrazione XD!!!

P.S. adesso per calcolarmi il $\delta$? non colgo la soluzione... il $\delta$ che devo calcolare sarebbe il raggio dell'intorno del punto $x_0$ giusto?


EDIT: daje stamattina con calma ho cercato alcune dispense su internet ed ho capito meglio i concetti di convergenza puntuale ed uniforme!! ora la domanda è: perchè una funzione sia continua bisogna che converga puntualmente o unifomemente? cioè mi spiego:

mentre in analisi 1 la definizione di continuità richiedeva che:$lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0)$

in questo contesto come dovrà essere? Noi ora per la prima funzione $1/x$ abbiamo dimostrato che è continua per un delta che non riesco a calcolare ma in sostanza per quale delle due convergenze è continua? ti prego di rispondere perchè sto andando in panico....