Esercizio funzione di due variabili
Stabilire se la funzione:
[tex]xe^{x^2}\sqrt{y}[/tex]
ammette derivate parziali in tutto il suo insieme.
Il dominio dovrebbe essere dato da: [tex](x,y): y\geq0[/tex]
Ora per la derivabilità credo ci siano problemi solo per la radice, ho pensato di scrivere la funzione così:
[tex]\left\{\begin{matrix}
xe^{x^2}\sqrt{y}\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
la prima se [tex](x,y)\neq 0[/tex]
Altrimenti vale l'altra.
Ora io ho calcolato la derivata parziale rispetto ad y nel punto [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
E ovviamente sostituendo i punti ottengo subito zero se non sbaglio, quindi dovrebbe essere derivabile in quel punto, se [tex](x,y)\neq(0,0)[/tex] Calcolo:
[tex]\lim_{ y\to 0 }\frac{xe^{x^2}\sqrt{y}}{y}=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{y}}[/tex]
Ora, non so come risolvere, forse bisogna fare un confronto?
Io ci ho provato, ma temo sia sempre una soluzione sbagliata:
[tex]\left | \frac{xe^{x^2}}{\sqrt{y}} \right |\leq |xe^{x^2}|[/tex]
Pensando che il secondo tende a 0, se fosse vera la disuguaglianza il limite farebbe zero, ma sono molto....mooooolto...perplesso
Per quando riguarda la derivabilità parziale in x....mi pare non ci siano problemi.....
[tex]xe^{x^2}\sqrt{y}[/tex]
ammette derivate parziali in tutto il suo insieme.
Il dominio dovrebbe essere dato da: [tex](x,y): y\geq0[/tex]
Ora per la derivabilità credo ci siano problemi solo per la radice, ho pensato di scrivere la funzione così:
[tex]\left\{\begin{matrix}
xe^{x^2}\sqrt{y}\\
0\end{matrix}\right.[/tex]
la prima se [tex](x,y)\neq 0[/tex]
Altrimenti vale l'altra.
Ora io ho calcolato la derivata parziale rispetto ad y nel punto [tex](x,y)=(0,0)[/tex]
E ovviamente sostituendo i punti ottengo subito zero se non sbaglio, quindi dovrebbe essere derivabile in quel punto, se [tex](x,y)\neq(0,0)[/tex] Calcolo:
[tex]\lim_{ y\to 0 }\frac{xe^{x^2}\sqrt{y}}{y}=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{y}}[/tex]
Ora, non so come risolvere, forse bisogna fare un confronto?
Io ci ho provato, ma temo sia sempre una soluzione sbagliata:
[tex]\left | \frac{xe^{x^2}}{\sqrt{y}} \right |\leq |xe^{x^2}|[/tex]
Pensando che il secondo tende a 0, se fosse vera la disuguaglianza il limite farebbe zero, ma sono molto....mooooolto...perplesso
Per quando riguarda la derivabilità parziale in x....mi pare non ci siano problemi.....
Risposte
non puoi "inventarti" la funzione. se è definita $x e^(x^2) sqrt(y) $, non puoi dire che vale 0 nell'origine. il dominio è scritto correttamente, calcolati le derivate parziali e guarda in quali punti esistono o meno.
"Darèios89":
Calcolo:
[tex]\lim_{ y\to 0 }\frac{xe^{x^2}\sqrt{y}}{y}=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{y}}[/tex]
Ora, non so come risolvere, forse bisogna fare un confronto?
E questo limite, a $x!=0$ fissato, quanto fa? E' un limite immediato!
E questo limite, a fissato, quanto fa? E' un limite immediato!
Uffa......fa infinito?.....non ci posso credere.....non sono passato per l'ennesima volta per la mia idiozia...
"Darèios89":E questo limite, a fissato, quanto fa? E' un limite immediato!
Uffa......fa infinito?.....non ci posso credere.....non sono passato per l'ennesima volta per la mia idiozia...
Non è idiozia, Darèios... Solo che non ragioni su cosa hai davanti agli occhi: parti in quarta applicando tecniche che non servono.
Come ti ho già detto un'altra volta, la Matematica si fa ragionando, non cercando di applicare meccanicamente degli schemi.
Inoltre, hai fatto sempre lo stesso errore: non è vero che per [tex]$y\to 0$[/tex] si ha [tex]$\sqrt{y} >1$[/tex], quindi quella maggiorazione è falsa.
Finchè ti ostinerai a non aprire gli occhi...
Hai ragione.....avrei voluto avere la lucidità e la testa come quella delle persone che rispondono qui....
Il pensiero che se ne debba riparlare a settembre....per una distrazione del genere......mi fa venire voglia di uccidere qualcuno...
Questa materia mi sta levando la vita.....
Il pensiero che se ne debba riparlare a settembre....per una distrazione del genere......mi fa venire voglia di uccidere qualcuno...
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