Esercizio forma differenziale chiusa ed esatta
Buonasera a tutti, ho svolto questo esercizio e volevo delle conferme da voi non essendo sicuro al 100%. Il testo è il seguente:
Sia \(\displaystyle w=(\frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2})dx + (\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3)dy \)
a) determinare il dominio di $w$
b) $w$ è chiusa nel suo dominio?
c) $w$ è esatta nel suo dominio?
d) calcolare $\int_\gamma w$ dove $\gamma$ è costituita dall'arco di parabola $y=x^2-2$ che va dal punto $(0,-2)$ al punto $(1,-1)$ e dal segmento di retta che va dal punto $(1,-1)$ al punto $(4,0)$
Svolgimento:
a) Per prima cosa calcolo il dominio, ovvero $D={(x,y)\in R^2:y<\frac{x}{2}}$. Noto che non ha "buchi", quindi è semplicemente connesso, inoltre è aperto dato che la frontiera non è inclusa. Queste considerazioni le userò successivamente.
b) Calcolo le derivate parziali "incrociate" ed effettivamente sono uguali e pari a $\frac{1}{\sqrt{(x-2y)^3}}$, di conseguenza la forma differenziale è chiusa.
c) Essendo il dominio semplicemente connesso, $w$ è anche esatta.
d) Qui ho i maggiori dubbi. Dopo aver fatto milioni di conti (
) parametrizzando $\gamma$, mi sono ricordato che $\int_\gamma w=U(P_1)-U(P_0)$ per le considerazioni al punto a), dove $P_1$ e $P_0$ sono rispettivamente il punto finale ed iniziale.
Passo al calcolo del potenziale
$U_x(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2}$ (1)
$U_y(x,y)=\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3$ (2)
Integro la (1) rispetto ad x
$U(x,y)=\int \frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2} dx = 2\sqrt{x-2y}+arctg(x)+f(y)$ (3)
Derivo la (3) rispetto ad y e la confronto con la (2)
$\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}+f'(y)=\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3$
Quindi $f'(y)=-3$, ovvero $f(y)=-3y$
Il potenziale è $U(x,y)=2\sqrt{x-2y}+arctg(x)-3y$
Concludendo ho che $\int_\gamma w=U(4,0)-U(0,-2)=-4.674$
Che ne pensate? Il risultato può essere negativo?
Sia \(\displaystyle w=(\frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2})dx + (\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3)dy \)
a) determinare il dominio di $w$
b) $w$ è chiusa nel suo dominio?
c) $w$ è esatta nel suo dominio?
d) calcolare $\int_\gamma w$ dove $\gamma$ è costituita dall'arco di parabola $y=x^2-2$ che va dal punto $(0,-2)$ al punto $(1,-1)$ e dal segmento di retta che va dal punto $(1,-1)$ al punto $(4,0)$
Svolgimento:
a) Per prima cosa calcolo il dominio, ovvero $D={(x,y)\in R^2:y<\frac{x}{2}}$. Noto che non ha "buchi", quindi è semplicemente connesso, inoltre è aperto dato che la frontiera non è inclusa. Queste considerazioni le userò successivamente.
b) Calcolo le derivate parziali "incrociate" ed effettivamente sono uguali e pari a $\frac{1}{\sqrt{(x-2y)^3}}$, di conseguenza la forma differenziale è chiusa.
c) Essendo il dominio semplicemente connesso, $w$ è anche esatta.
d) Qui ho i maggiori dubbi. Dopo aver fatto milioni di conti (
) parametrizzando $\gamma$, mi sono ricordato che $\int_\gamma w=U(P_1)-U(P_0)$ per le considerazioni al punto a), dove $P_1$ e $P_0$ sono rispettivamente il punto finale ed iniziale.Passo al calcolo del potenziale
$U_x(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2}$ (1)
$U_y(x,y)=\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3$ (2)
Integro la (1) rispetto ad x
$U(x,y)=\int \frac{1}{\sqrt{x-2y}}+\frac{1}{1+x^2} dx = 2\sqrt{x-2y}+arctg(x)+f(y)$ (3)
Derivo la (3) rispetto ad y e la confronto con la (2)
$\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}+f'(y)=\frac{-2}{\sqrt{x-2y}}-3$
Quindi $f'(y)=-3$, ovvero $f(y)=-3y$
Il potenziale è $U(x,y)=2\sqrt{x-2y}+arctg(x)-3y$
Concludendo ho che $\int_\gamma w=U(4,0)-U(0,-2)=-4.674$
Che ne pensate? Il risultato può essere negativo?
Risposte
Nessuno sa rispondermi? 
Mi sembra esatto
"Vulplasir":
Mi sembra esatto
Grazie!
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