Esercizio flusso Sfera
Buongiorno a Tutti,
avrei bisogno di un vostro generoso aiuto per la risoluzione di tale esercizio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale F=$(z^2/2(\sqrt(x^2+y^2)))$j
uscente dal solido V=$[(x,y,z)\inR^3:x^2+y^2+z^2\leq25;z\geq3]$
risolvere mediante il teorema della divergenza e applicando la definizione di flusso.
Allora ragazzi io comincio applicando la definizione di flusso.
Per prima cosa passiamo in coordinate sferiche:
$x=\rhocos(\theta)sen(\phi)$
$y=\rhosen(\theta)sen(\phi)$ $3\leq\rho\leq5$ ; $0\leq\theta\leq2\pi$ ; $0\leq\phi\leq\pi$
$z=\rhocos(\phi)$
a questo punto imposto la matrice e calcolo i minori ( dato che il campo vettoriale ha solo la seconda componente calcolo solo il minore che si ottiene dalla matrice eliminando la seconda riga)(ometto di riportarla poichè non so come rappresentarla).
tale minore è : $B=-\rhosen^2(\phi)sen(\theta)$
a questo punto applichiamo la definizione:
$\intF\nu$
ora sostituendo le coordinate sferiche nel campo otteniamo :
$(\rho^2cos^2(\phi))/2(\sqrt(\rho^4sen^2(\theta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))$
tutto questo va moltiplicato per B ottenendo:...
... beh qualunque cosa si ottenga , onestamente poi non saprei proprio che pesci prendere per calcolare l'integrale triplo che ne esce.
Quindi la prima domanda ... DOV'è L'ERRORE?.
ora proviamo a risolverlo applicando il teorema della divergenza.
calcoliamo la divregenza di F:
divF=$(\partialF)/(\partialy)=(yz^2)/(2\sqrt(x^2+y^2))$
a questo punto passiamo nuovamente in coordinate sferiche:
$(\rho^3sen(\theta)sen(\phi)cos^2(\phi))/(2\sqrt(\rho^4sen^2(\teta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))$
e ora non ci resta che calcolare l'integrale triplo di tutto questo :
$\int\int\int(\rho^3sen(\theta)sen(\phi)cos^2(\phi))/(2\sqrt(\rho^4sen^2(\teta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))d\thetad\phid\rho$
il primo integrale esteso a $[0.2\pi]$ il secondo a $[0,\pi]$ e il terzo $[3,5]$
ancora una volta l'integrale è sufficientemente complicato.
Dato che questo esercizio si trova in una traccia d'esame , ci vorrebbe al piu un quarto d'ora a risolverlo ma io ci ho impiegato molto piu e non ho neanche risolto gli integrali.
Quindi vorrei avere da voi una preziosa mano!
Grazie a tutti.
avrei bisogno di un vostro generoso aiuto per la risoluzione di tale esercizio:
Calcolare il flusso del campo vettoriale F=$(z^2/2(\sqrt(x^2+y^2)))$j
uscente dal solido V=$[(x,y,z)\inR^3:x^2+y^2+z^2\leq25;z\geq3]$
risolvere mediante il teorema della divergenza e applicando la definizione di flusso.
Allora ragazzi io comincio applicando la definizione di flusso.
Per prima cosa passiamo in coordinate sferiche:
$x=\rhocos(\theta)sen(\phi)$
$y=\rhosen(\theta)sen(\phi)$ $3\leq\rho\leq5$ ; $0\leq\theta\leq2\pi$ ; $0\leq\phi\leq\pi$
$z=\rhocos(\phi)$
a questo punto imposto la matrice e calcolo i minori ( dato che il campo vettoriale ha solo la seconda componente calcolo solo il minore che si ottiene dalla matrice eliminando la seconda riga)(ometto di riportarla poichè non so come rappresentarla).
tale minore è : $B=-\rhosen^2(\phi)sen(\theta)$
a questo punto applichiamo la definizione:
$\intF\nu$
ora sostituendo le coordinate sferiche nel campo otteniamo :
$(\rho^2cos^2(\phi))/2(\sqrt(\rho^4sen^2(\theta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))$
tutto questo va moltiplicato per B ottenendo:...
... beh qualunque cosa si ottenga , onestamente poi non saprei proprio che pesci prendere per calcolare l'integrale triplo che ne esce.
Quindi la prima domanda ... DOV'è L'ERRORE?.
ora proviamo a risolverlo applicando il teorema della divergenza.
calcoliamo la divregenza di F:
divF=$(\partialF)/(\partialy)=(yz^2)/(2\sqrt(x^2+y^2))$
a questo punto passiamo nuovamente in coordinate sferiche:
$(\rho^3sen(\theta)sen(\phi)cos^2(\phi))/(2\sqrt(\rho^4sen^2(\teta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))$
e ora non ci resta che calcolare l'integrale triplo di tutto questo :
$\int\int\int(\rho^3sen(\theta)sen(\phi)cos^2(\phi))/(2\sqrt(\rho^4sen^2(\teta)cos^2(\theta)sen^4(\phi)))d\thetad\phid\rho$
il primo integrale esteso a $[0.2\pi]$ il secondo a $[0,\pi]$ e il terzo $[3,5]$
ancora una volta l'integrale è sufficientemente complicato.
Dato che questo esercizio si trova in una traccia d'esame , ci vorrebbe al piu un quarto d'ora a risolverlo ma io ci ho impiegato molto piu e non ho neanche risolto gli integrali.
Quindi vorrei avere da voi una preziosa mano!
Grazie a tutti.
Risposte
Perchè non lo risolvi in coordinate cilindriche, mi sembra che venga molto più pulito.
ok ci provo e in serata posto i calcoli.
Nel frattempo potresti dirmi se i procedimenti che applicato prima sono corretti.
inoltre vorrei che mi chiarissi come mai posso utilizzare i riferimenti cartesiani quando ,come nel nostro caso, abbiamo a che fare con una sfera.
Grazie.
Nel frattempo potresti dirmi se i procedimenti che applicato prima sono corretti.
inoltre vorrei che mi chiarissi come mai posso utilizzare i riferimenti cartesiani quando ,come nel nostro caso, abbiamo a che fare con una sfera.
Grazie.
Aspetta, non è corretto $3 \le \rho \le 5$.
Il tuo solido è una sfera di raggio 5 tagliata ad altezza $z=3$.
In ogni caso, con qualche ragionamento ad hoc, dovresti concludere che il flusso è nullo, e poi magari confermare con i calcoli.
Il tuo solido è una sfera di raggio 5 tagliata ad altezza $z=3$.
In ogni caso, con qualche ragionamento ad hoc, dovresti concludere che il flusso è nullo, e poi magari confermare con i calcoli.
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