Esercizio estremi relativi in 2 variabili
Ciao.
Devo studiare gli estremi relativi di :
$ f(x,y)= (xy-x^2)e^(-x-|y|)$, nel semipiano $0\leq x$
Siccome è un chiuso lavoro prima per x positive, che è l'interno dell'insieme in cui vale Fermat.
Risparmio i conti e per y positive trovo (0.5,1.5) come massimo relativo, per quelle negative mi seccava fare i conti ma siamo li.
Per y=0, si tratta di risolvere
$f(x_{0},0) \leq f(x,y)$, con x0 positivo. Siccome deve valere lungo l'asse x in cui la funzione è di una variabile dovrà essere minimo anche per $-x^2 e^-x$ che ci dà 2 come punto. (È giusto questo ragionamdnto?)
Per cui per y=0 l'unico eventuale punto di estremo sarà $(2,0)$.
Adesso non capisco come risolvere quella disequazione. E credo sia pure un minimo assoluto..ma non ho idea di come provarlo al momento.
Passiamo poi alla frontiera in cui x=0 e la funzione qui vale 0. questi sono tutti punti di estremo tranne l'origine (infatti sopra o sotto la prima bisettrice la quantità tra parentesi è sempre psoitiva o negativa, mentre l'esponenziale è sempre positivo, e allora si trova un intorno in cui vale quella diseguaglianza). L'origine invece non va bene (qualunque intorno fa cambiare segno a quella cosa).
Scusate il papiro, però volevo sapere se è giusto il modo di procedere e come faccio a provare che (2,0) è di Min relativo e assoluto..
Grazie!
Devo studiare gli estremi relativi di :
$ f(x,y)= (xy-x^2)e^(-x-|y|)$, nel semipiano $0\leq x$
Siccome è un chiuso lavoro prima per x positive, che è l'interno dell'insieme in cui vale Fermat.
Risparmio i conti e per y positive trovo (0.5,1.5) come massimo relativo, per quelle negative mi seccava fare i conti ma siamo li.
Per y=0, si tratta di risolvere
$f(x_{0},0) \leq f(x,y)$, con x0 positivo. Siccome deve valere lungo l'asse x in cui la funzione è di una variabile dovrà essere minimo anche per $-x^2 e^-x$ che ci dà 2 come punto. (È giusto questo ragionamdnto?)
Per cui per y=0 l'unico eventuale punto di estremo sarà $(2,0)$.
Adesso non capisco come risolvere quella disequazione. E credo sia pure un minimo assoluto..ma non ho idea di come provarlo al momento.
Passiamo poi alla frontiera in cui x=0 e la funzione qui vale 0. questi sono tutti punti di estremo tranne l'origine (infatti sopra o sotto la prima bisettrice la quantità tra parentesi è sempre psoitiva o negativa, mentre l'esponenziale è sempre positivo, e allora si trova un intorno in cui vale quella diseguaglianza). L'origine invece non va bene (qualunque intorno fa cambiare segno a quella cosa).
Scusate il papiro, però volevo sapere se è giusto il modo di procedere e come faccio a provare che (2,0) è di Min relativo e assoluto..
Grazie!
Risposte
Che odio i valori assoluti...
Spezziamo la f(x,y) nelle 2 casistiche $y>0$ e $y<=0$
Per $y>0$ $f(x,y)=(xy-x^2)e^-(x+y)$ si scopre che esiste un solo punto critico che soddisfa il sistema di derivate parziali poste =0 ed è quello che hai trovato, ovvero $C=(1/2,3/2)$ e appartiene al dominio $x>0 $ $y>0$.
A questo punto occorre analizzare il determinante dell'hessiana per capire che tipo di punto è.
Calcolando le derivate seconde in C si ottiene $f_(x.x)=-5/(2e^2)$ e $f_(yy)=-1/(2e^2)$ e infine $f_(xy)=1/(2e^2)$
Il determinante è $f_(x.x)f_(yy)-[f_(xy)]^2=1/e^4$ quindi è positivo, ergo l'intorno di C è un parabolide, quindi può essere un massimo o un minimo. Dato che $f_(x.x)<0$ il punto C è un massimo assoluto.
Per $y<=0$ $f(x,y)=(xy-x^2)e^(-x+y)$ e il sistema di derivate parziali non ha soluzione, quindi non esistono punti critici.
Analizzando i limiti della $f(a,y)=(a/e^a)(y-a)e^y$
- quando y va a meno infinito va a zero
- quando y tende a zero tende alla f(x,0)
Studiando la f(x,0) hai ottenuto anche il secondo punto critico $f(2,0)=-4/e^2$ che per quanto detto sopra rappresenta quindi un punto di minimo assoluto.
Spezziamo la f(x,y) nelle 2 casistiche $y>0$ e $y<=0$
Per $y>0$ $f(x,y)=(xy-x^2)e^-(x+y)$ si scopre che esiste un solo punto critico che soddisfa il sistema di derivate parziali poste =0 ed è quello che hai trovato, ovvero $C=(1/2,3/2)$ e appartiene al dominio $x>0 $ $y>0$.
A questo punto occorre analizzare il determinante dell'hessiana per capire che tipo di punto è.
Calcolando le derivate seconde in C si ottiene $f_(x.x)=-5/(2e^2)$ e $f_(yy)=-1/(2e^2)$ e infine $f_(xy)=1/(2e^2)$
Il determinante è $f_(x.x)f_(yy)-[f_(xy)]^2=1/e^4$ quindi è positivo, ergo l'intorno di C è un parabolide, quindi può essere un massimo o un minimo. Dato che $f_(x.x)<0$ il punto C è un massimo assoluto.
Per $y<=0$ $f(x,y)=(xy-x^2)e^(-x+y)$ e il sistema di derivate parziali non ha soluzione, quindi non esistono punti critici.
Analizzando i limiti della $f(a,y)=(a/e^a)(y-a)e^y$
- quando y va a meno infinito va a zero
- quando y tende a zero tende alla f(x,0)
Studiando la f(x,0) hai ottenuto anche il secondo punto critico $f(2,0)=-4/e^2$ che per quanto detto sopra rappresenta quindi un punto di minimo assoluto.
"Bokonon":
Studiando la f(x,0) hai ottenuto anche il secondo punto critico $f(2,0)=-4/e^2$ che per quanto detto sopra rappresenta quindi un punto di minimo assoluto.
Ho scordato di scrivere che anche il limite della f(x,y) per y che va a +infinito è zero.
Tutto questo ci assicura che quello sia un minimo assoluto.
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