Esercizio eq. diff. a variabili separabili

[Pablitos23]

E' la seguente:

$\{(y'=(y+1)logx),(y(1)=0) :}$

La soluzione stazionaria che annulla $b(y)=y+1$ è $y-=-1$

Le soluzioni non costanti sono:

$\int_0^(y(x)) dy/(y+1) = \int_1^x logx dx$

Risolvendo gli integrali mi trovo all'uguaglianza:

$[log|y+1|]_0^(y(x)) = [x(logx-1)]_1^x$

Sviluppando arrivo a:

$log|y+1| = x(logx-1)+1 =$

$=log(y+1) = +- (x(logx-1)+1)$

Come gestisco il modulo??

[mazzarri1]

ciao Paolovox

$int (dy)/(y+1) = int logx dx$

$log |y+1|= x(logx-1)+c$

Adesso eliminiamo il modulo al primo termine osservando la condizione di Cauchy $y(1)=0$... infatti $|y+1|=y+1$ se $y>=-1$ che è il nostro caso dato che la $y$ vale sicuramente zero per la condizione di Cauchy....

Allora scrivi

$log (y+1)= x(logx-1)+c$

Impongo la condizione di Cauchy

$0=-1+c$ da cui $c=1$

soluzione

$log (y+1)= xlogx-x+1$

$y+1= e^(xlogx-x+1)=$

$y= e^(xlogx-x+1)-1$

[Pablitos23]

Si grazie mille ho capito. Ultima cosa:
quando risolvo

$[x(logx-1)]_1^x$ già mi trovo un $+1$ davanti dato che:

$=x(logx-1)-1(log1-1) = xlogx-x+1$ o sbaglio?

[mazzarri1]

si ma io sono abituato a non fare integrali definiti... li faccio indefiniti e trova la costante dopo... abitudine