Esercizio di ricerca di massimo e minimo su un vincolo
Ciao a tutti, sto riscontrando delle difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:
Per prima cosa ho rappresentato graficamente l'insieme A e poi ho studiato prima i punti interni a questo insieme trovando un punto di minimo locale e uno di max locale. Poi ho studiato quelli sul bordo. Per questi ho diviso in due l'insieme, prima y=-5, poi y=-x^2. Per il primo ho valutato la funzione nel punto P(x,-5) e ho trovato 0 come punto di minimo. Per il secondo ho valutato la funzione nel punto P'(x, -x^2) e ho ottenuto 0 come punto di minimo e -1 massimo ma non credo sia logicamente possibile.
Qualcuno sa dirmi dove sto sbagliando? Grazie mille
Per prima cosa ho rappresentato graficamente l'insieme A e poi ho studiato prima i punti interni a questo insieme trovando un punto di minimo locale e uno di max locale. Poi ho studiato quelli sul bordo. Per questi ho diviso in due l'insieme, prima y=-5, poi y=-x^2. Per il primo ho valutato la funzione nel punto P(x,-5) e ho trovato 0 come punto di minimo. Per il secondo ho valutato la funzione nel punto P'(x, -x^2) e ho ottenuto 0 come punto di minimo e -1 massimo ma non credo sia logicamente possibile.
Qualcuno sa dirmi dove sto sbagliando? Grazie mille
Risposte
Ciao jacktripodi2000,
Intanto riscrivo l'esercizio proposto in modo che tu possa copiarlo e magari correggere l'OP cancellando l'immagine...
Motivando la risposta, determinare il massimo ed il minimo della funzione $f(x, y) = log(1 + x^2y^2) $ nell'insieme [tex]\cal{A}:=[/tex]${(x,y) \in \RR^2 | - 5 <= y <= - x^2}$.
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x,y) $ proposta ha dominio $D = \RR^2 $ ed è pari:
$f(-x,y) = f(x, -y) = f(-x, -y) = f(x,y) $
Inoltre essa è sempre positiva o al più nulla se $x = 0 $ (asse $y$) o se $y = 0$ (asse $x$) e naturalmente nell'origine $O(0,0) $ che è certamente un punto di minimo. Poi le funzioni $y = - 5 $ (retta orizzontale) e $y = - x^2 $ (parabola con la concavità verso il basso) si intersecano nei due punti $M(\sqrt{5}, - 5) $ e $M'(- \sqrt{5}, - 5) $ che sono punti di massimo: per la sopra citata simmetria basta calcolare il corrispondente valore di $z $ in $M$ perché in $M' $ è identico. Si ha $z_M = f(\sqrt{5}, - 5) = log(1 + 5\cdot 25) = log126 $
Intanto riscrivo l'esercizio proposto in modo che tu possa copiarlo e magari correggere l'OP cancellando l'immagine...
Motivando la risposta, determinare il massimo ed il minimo della funzione $f(x, y) = log(1 + x^2y^2) $ nell'insieme [tex]\cal{A}:=[/tex]${(x,y) \in \RR^2 | - 5 <= y <= - x^2}$.
Comincerei con l'osservare che la funzione $z = f(x,y) $ proposta ha dominio $D = \RR^2 $ ed è pari:
$f(-x,y) = f(x, -y) = f(-x, -y) = f(x,y) $
Inoltre essa è sempre positiva o al più nulla se $x = 0 $ (asse $y$) o se $y = 0$ (asse $x$) e naturalmente nell'origine $O(0,0) $ che è certamente un punto di minimo. Poi le funzioni $y = - 5 $ (retta orizzontale) e $y = - x^2 $ (parabola con la concavità verso il basso) si intersecano nei due punti $M(\sqrt{5}, - 5) $ e $M'(- \sqrt{5}, - 5) $ che sono punti di massimo: per la sopra citata simmetria basta calcolare il corrispondente valore di $z $ in $M$ perché in $M' $ è identico. Si ha $z_M = f(\sqrt{5}, - 5) = log(1 + 5\cdot 25) = log126 $
Grazie mille, ora è più chiaro
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