Esercizio di dimostrazione
Ciao, sto svolgendo questo esercizio e ho bisogno di un controllo:
"Una sezione (o taglio di Dedekind) di \( \mathbb{R} \) è una coppia ordinata \( (H,K) \) di sottoinsiemi di \( \mathbb{R}\), entrambi non vuoti, e tali che \( H \cup K = \mathbb{R}\), e \(H
Prima di tutto mostro che l'assioma di completezza implica \(*\).
Sia \( (H,K) \) una sezione di \( \mathbb{R} \) e supponiamo che esistano due elementi separatori \( \xi < \eta \) di \(H\) e \(K\):
\( h \leq \xi\ < \eta \leq k\) \( \forall h \in H, \forall k \in K\).
Per l'assioma di completezza, \( \exists \alpha \in \mathbb{R} : h \leq \xi\ < \alpha< \eta \leq k \) \( \forall h \in H, \forall k \in K\). Da cui
\(\alpha \notin H \wedge \alpha \notin K \) ma allora \(H \cup K \neq \mathbb{R}\), contraddizione.
Ora mostro che \(*\) implica l'assioma di completezza.
\( \forall \alpha \in \mathbb{R} \) sia \( A_{\alpha} = ]-\infty; \alpha[ \) e sia \( B_{\alpha} = [\alpha;+\infty[\)
Allora \( A_{\alpha} \cup B_{\alpha} = \mathbb{R} \) e \( A_{\alpha} < B_{\alpha}\).
Quindi \( (A_{\alpha}, B_{\alpha})\) è una sezione di \(\mathbb{R}\), e allora
\( \exists !\) \(\beta \in \mathbb{R}\) : \( A_{\alpha} \leq \beta \leq B_{\alpha} \).
Ora, al variare di \( \alpha \in \mathbb{R}\) , tutti i sottoinsiemi dei reali \( H, K \) tali che \(H < K \) , sono sottoinsiemi di \(A_{\alpha}\) e \( B_{\alpha}\), rispettivamente. Questo vuol dire che:
\( H \leq \alpha \leq K\), cioè \(\alpha\) è un elemento separatore di \(H,K\)
E così si ha l'assioma di completezza.
Per la terza proposizione:
Sia \((A,B)\) una sezione di \(\mathbb{R}\), e sia \( \alpha\) l'elemento separatore.
L'elemento separatore deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi perché altrimenti la loro unione non darebbe come risultato tutto l'insieme dei reali, ed è ovvio che se appartiene ad A, \( \alpha\) è il suo massimo, se appartiene a B, è il suo minimo.
D'altro canto se (A,B) è una sezione, si ha per definizione \( a
Io ho dei dubbi principalmente sulla seconda dimostrazione. (\(* \implies \) assioma di compl.)
"Una sezione (o taglio di Dedekind) di \( \mathbb{R} \) è una coppia ordinata \( (H,K) \) di sottoinsiemi di \( \mathbb{R}\), entrambi non vuoti, e tali che \( H \cup K = \mathbb{R}\), e \(H
Prima di tutto mostro che l'assioma di completezza implica \(*\).
Sia \( (H,K) \) una sezione di \( \mathbb{R} \) e supponiamo che esistano due elementi separatori \( \xi < \eta \) di \(H\) e \(K\):
\( h \leq \xi\ < \eta \leq k\) \( \forall h \in H, \forall k \in K\).
Per l'assioma di completezza, \( \exists \alpha \in \mathbb{R} : h \leq \xi\ < \alpha< \eta \leq k \) \( \forall h \in H, \forall k \in K\). Da cui
\(\alpha \notin H \wedge \alpha \notin K \) ma allora \(H \cup K \neq \mathbb{R}\), contraddizione.
Ora mostro che \(*\) implica l'assioma di completezza.
\( \forall \alpha \in \mathbb{R} \) sia \( A_{\alpha} = ]-\infty; \alpha[ \) e sia \( B_{\alpha} = [\alpha;+\infty[\)
Allora \( A_{\alpha} \cup B_{\alpha} = \mathbb{R} \) e \( A_{\alpha} < B_{\alpha}\).
Quindi \( (A_{\alpha}, B_{\alpha})\) è una sezione di \(\mathbb{R}\), e allora
\( \exists !\) \(\beta \in \mathbb{R}\) : \( A_{\alpha} \leq \beta \leq B_{\alpha} \).
Ora, al variare di \( \alpha \in \mathbb{R}\) , tutti i sottoinsiemi dei reali \( H, K \) tali che \(H < K \) , sono sottoinsiemi di \(A_{\alpha}\) e \( B_{\alpha}\), rispettivamente. Questo vuol dire che:
\( H \leq \alpha \leq K\), cioè \(\alpha\) è un elemento separatore di \(H,K\)
E così si ha l'assioma di completezza.
Per la terza proposizione:
Sia \((A,B)\) una sezione di \(\mathbb{R}\), e sia \( \alpha\) l'elemento separatore.
L'elemento separatore deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi perché altrimenti la loro unione non darebbe come risultato tutto l'insieme dei reali, ed è ovvio che se appartiene ad A, \( \alpha\) è il suo massimo, se appartiene a B, è il suo minimo.
D'altro canto se (A,B) è una sezione, si ha per definizione \( a
Io ho dei dubbi principalmente sulla seconda dimostrazione. (\(* \implies \) assioma di compl.)
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