Esercizio di differenziabilità
Chiedo scusa per il vecchio topic che avevo scritto male e ringrazio comunque coloro che si sono cimentati nell'aiutarmi. Provo a scrivere le formule come si deve nella speranza che possiate aiutarmi di nuovo. Grazie
Il problema è così posto:
a) dimostrare che $f(x)={(x^2*sin(1/x), if x!=0),(0, if x=0):}$
è differenziabile con derivata discontinua in x=0
b) usare il punto a) per dimostrare che
$f(x,y)={((x^2+y^2)sin(1/(sqrt(x^2+y^2))), if (x,y)!=0),(0, if (x,y) = (0,0)):}$
è differenziabile con derivate parziali discontinue in (x,y) = (0,0)
Spero questa volta di aver scritto in maniera chiara, grazie ancora a chi si cimenterà
Il problema è così posto:
a) dimostrare che $f(x)={(x^2*sin(1/x), if x!=0),(0, if x=0):}$
è differenziabile con derivata discontinua in x=0
b) usare il punto a) per dimostrare che
$f(x,y)={((x^2+y^2)sin(1/(sqrt(x^2+y^2))), if (x,y)!=0),(0, if (x,y) = (0,0)):}$
è differenziabile con derivate parziali discontinue in (x,y) = (0,0)
Spero questa volta di aver scritto in maniera chiara, grazie ancora a chi si cimenterà
Risposte
Dato che al punto a) mi pareva di avere gia' risposto passo a b). Se chiamiamo $g(t)$ la funzione del punto a), allora
$f(x,y)=g(x^2+y^2)$. Dato che $g$ e' differenziabile in ogni punto (perche' e' derivabile) dal teorema sulla composizione
risulta $df(x,y)(\xi,\eta)=g'(x^2+y^2)(2x\xi+2y\eta)$ cioe' $\nabla f(x,y)=2g'(x^2+y^2)((x),(y))$.
Ho usato il fatto che, se $h(x,y)=x^2+y^2$, allora $dh(x,y)(\xi,\eta)=\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}\xi+\frac{\partial h(x,y)}{\partial y}\eta=2x\xi+2y\eta$.
Dato che $g'$ e' discontinua in zero se ne deduce che $df$ e' discontinuo in $((0),(0))$.
$f(x,y)=g(x^2+y^2)$. Dato che $g$ e' differenziabile in ogni punto (perche' e' derivabile) dal teorema sulla composizione
risulta $df(x,y)(\xi,\eta)=g'(x^2+y^2)(2x\xi+2y\eta)$ cioe' $\nabla f(x,y)=2g'(x^2+y^2)((x),(y))$.
Ho usato il fatto che, se $h(x,y)=x^2+y^2$, allora $dh(x,y)(\xi,\eta)=\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}\xi+\frac{\partial h(x,y)}{\partial y}\eta=2x\xi+2y\eta$.
Dato che $g'$ e' discontinua in zero se ne deduce che $df$ e' discontinuo in $((0),(0))$.
@johnnyfreak
Grazie per lo spirito di collaborazione.
Grazie per lo spirito di collaborazione.
"Fioravante Patrone":
@johnnyfreak
Grazie per lo spirito di collaborazione.
Mi associo - non vorrei che la mia risposta precedente fosse sembrata brusca.
Sembra che mi prendiate in giro quando mi ringraziate e siete voi ad aiutarmi:). Grazie per la risposta, estremamente dettagliata. Sono molto arruginito con la matematica, per anni mi sono occupato di altro e il vostro aiuto è inestimabile.
No, io non ti prendo in giro per nulla (e certo neanche VGE).
Ero intervenuto come "utente normale", ma come moderatore apprezzo il fatto che tu abbia seguito il consiglio che VGE ti aveva dato. Non sempre la reazione dei nuovi utenti è così cordiale
Ero intervenuto come "utente normale", ma come moderatore apprezzo il fatto che tu abbia seguito il consiglio che VGE ti aveva dato. Non sempre la reazione dei nuovi utenti è così cordiale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo