Esercizio di Analisi II
Buongiorno,
nonostante ci sia già un argomento simile all'interno del forum, devo sottoporvi questo esercizio perché continuo a non capire niente.
Sia K compatto e connesso per archi e f: K ⊆ R^n su R
f(k)= [minf,maxf] su k
Calcolare f(k) dove k={ (x,y) ∈ R^2 tale che x^2+y^2 ≤ 1}
f(x,y) = x^2+3y^2
mi riferisco in particolare al metodo che coinvolge la FRONTIERA
io ho calcolato il gradiente e l'ho posto uguale a zero trovando il punto critico A=(0,0)
poi ho trovato la frontiera di K che è uguale a x^2+y^2=1
restringendo la funzione alla frontiera ottengo g(x)=1+2y^2 con y compreso tra -1 e 1
l'esercizio prosegue incomprensibilmente trovando
maxf ristretto alla frontiera=maxg ristretto all'intervallo [-1,1] =3 mentre il minimo è 2
mi potreste spiegare in modo più dettagliato possibile come faccio a trovare quei valori??
mi scuso per eventuali errori ma è la prima volta che pongo un argomento e non sono pratica di linguaggio informatico-matematico
nonostante ci sia già un argomento simile all'interno del forum, devo sottoporvi questo esercizio perché continuo a non capire niente.
Sia K compatto e connesso per archi e f: K ⊆ R^n su R
f(k)= [minf,maxf] su k
Calcolare f(k) dove k={ (x,y) ∈ R^2 tale che x^2+y^2 ≤ 1}
f(x,y) = x^2+3y^2
mi riferisco in particolare al metodo che coinvolge la FRONTIERA
io ho calcolato il gradiente e l'ho posto uguale a zero trovando il punto critico A=(0,0)
poi ho trovato la frontiera di K che è uguale a x^2+y^2=1
restringendo la funzione alla frontiera ottengo g(x)=1+2y^2 con y compreso tra -1 e 1
l'esercizio prosegue incomprensibilmente trovando
maxf ristretto alla frontiera=maxg ristretto all'intervallo [-1,1] =3 mentre il minimo è 2
mi potreste spiegare in modo più dettagliato possibile come faccio a trovare quei valori??
mi scuso per eventuali errori ma è la prima volta che pongo un argomento e non sono pratica di linguaggio informatico-matematico
Risposte
Premesso che sarebbe più semplice seguirti se usassi le formule latex (cosa che su questo forum puoi fare).
La prima considerazione importante è che la connessione per archi è una condizione più forte del necessario, basta la connessione. Insomma l'immagine di un compatto tramite una funzione continua è ancora un compatto e la stessa cosa vale per gli insiemi connessi. Gli insiemi compatti e connessi di \(\mathbb{R}\) sono gli intervalli chiusi. Questo è solo per darti una spiegazione topologica di queste cose.
Siccome la frontiera è ciò che rende chiuso l'insieme che stai considerando allora, dato che gli spazi compatti in un insieme di Hausdorff sono chiusi, non esistono metodi per trovare l'immagine che non tengano conto della frontiera.
Riguardo al tuo problema hai trasformato una funzione in due variabili in un compatto (la circonferenza/frontiera è un compatto) in una funzione in una variabile in un compatto (un intervallo chiuso). Come fai a trovare massimi e minimi in una funzioni di una variabile su un intervallo chiuso? E non dimenticarti anche qui della frontiera
.
Tra l'altro a rigore dovresti dimostrare che la funzione è continua su tutto l'insieme considerato e che stai effettivamente lavorando con compatti. Anche se è immediato.
La prima considerazione importante è che la connessione per archi è una condizione più forte del necessario, basta la connessione. Insomma l'immagine di un compatto tramite una funzione continua è ancora un compatto e la stessa cosa vale per gli insiemi connessi. Gli insiemi compatti e connessi di \(\mathbb{R}\) sono gli intervalli chiusi. Questo è solo per darti una spiegazione topologica di queste cose.
Siccome la frontiera è ciò che rende chiuso l'insieme che stai considerando allora, dato che gli spazi compatti in un insieme di Hausdorff sono chiusi, non esistono metodi per trovare l'immagine che non tengano conto della frontiera.
Riguardo al tuo problema hai trasformato una funzione in due variabili in un compatto (la circonferenza/frontiera è un compatto) in una funzione in una variabile in un compatto (un intervallo chiuso). Come fai a trovare massimi e minimi in una funzioni di una variabile su un intervallo chiuso? E non dimenticarti anche qui della frontiera
.Tra l'altro a rigore dovresti dimostrare che la funzione è continua su tutto l'insieme considerato e che stai effettivamente lavorando con compatti. Anche se è immediato.
"vict85":
Premesso che sarebbe più semplice seguirti se usassi le formule latex (cosa che su questo forum puoi fare).
La prima considerazione importante è che la connessione per archi è una condizione più forte del necessario, basta la connessione. Insomma l'immagine di un compatto tramite una funzione continua è ancora un compatto e la stessa cosa vale per gli insiemi connessi. Gli insiemi compatti e connessi di \(\mathbb{R}\) sono gli intervalli chiusi. Questo è solo per darti una spiegazione topologica di queste cose.
Siccome la frontiera è ciò che rende chiuso l'insieme che stai considerando allora, dato che gli spazi compatti in un insieme di Hausdorff sono chiusi, non esistono metodi per trovare l'immagine che non tengano conto della frontiera.
Riguardo al tuo problema hai trasformato una funzione in due variabili in un compatto (la circonferenza/frontiera è un compatto) in una funzione in una variabile in un compatto (un intervallo chiuso). Come fai a trovare massimi e minimi in una funzioni di una variabile su un intervallo chiuso? E non dimenticarti anche qui della frontiera
Tra l'altro a rigore dovresti dimostrare che la funzione è continua su tutto l'insieme considerato e che stai effettivamente lavorando con compatti. Anche se è immediato.
quindi???
Quindi trovi il massimo e minimo di \(g(x)\) in quell'intervallo. Insomma usi i metodi che hai usato in analisi 1.
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