Esercizio di analisi complessa
Sia $f$ :$CC$ $rarr$ $CC$ una funzione analitica su tutto $CC$. Supponiamo che $\lim_{z \to \infty}|f(z)|$ = $prop$.
Dimostrare che il quadrato $f(z)^2$ di $f(z)$ possiede almeno uno zero di molteplicità 2.
Ho pensato che per dimostrarlo mi basta dimostrare che $f(z)$ possegga almeno uno zero semplice. Infatti in tal caso avrei $f(z_0)=0$ e $f'(z_0)!=0$
Posto $g(z)=f(z)^2$
Segue che $g'(z_0)=2f(z_0)f'(z_0)=0$ mentre $g''(z_0)=2f(z_0)f''(z_0)+2f'(z_0)f'(z_0)!=0$
Allora $g(z)=f(z)^2$ possiede uno zero di molteplicità 2 nel punto $z=z_0$.
Come posso quindi affermare che $f(z)$ ha almeno uno zero semplice?
Devo usare in qualche modo l'ipotesi che $\lim_{z \to \infty}|f(z)|$ = $prop$ ?
Vi ringrazio in anticipo.
Dimostrare che il quadrato $f(z)^2$ di $f(z)$ possiede almeno uno zero di molteplicità 2.
Ho pensato che per dimostrarlo mi basta dimostrare che $f(z)$ possegga almeno uno zero semplice. Infatti in tal caso avrei $f(z_0)=0$ e $f'(z_0)!=0$
Posto $g(z)=f(z)^2$
Segue che $g'(z_0)=2f(z_0)f'(z_0)=0$ mentre $g''(z_0)=2f(z_0)f''(z_0)+2f'(z_0)f'(z_0)!=0$
Allora $g(z)=f(z)^2$ possiede uno zero di molteplicità 2 nel punto $z=z_0$.
Come posso quindi affermare che $f(z)$ ha almeno uno zero semplice?
Devo usare in qualche modo l'ipotesi che $\lim_{z \to \infty}|f(z)|$ = $prop$ ?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Provato a ragionare come quando si dimostra il Teorema di Liouville?
Ma la funzione non è limitata... non capisco 
Scusa, non Liouville... Intendevo il Teorema Fondamentale dell'Algebra dimostrato come applicazione di Liouville.
In particolare, l'idea che mi era venuta in mente era usare la funzione \(\frac{1}{f(z)}\) e mostrare che essa ha almeno un polo al finito.
In particolare, l'idea che mi era venuta in mente era usare la funzione \(\frac{1}{f(z)}\) e mostrare che essa ha almeno un polo al finito.
Se $1/f(z)$ ha almeno un polo al finito allora $f(z)$ ha uno zero, a questo vogliamo arrivare vero?
Per dire che $1/f(z)$ ha un polo deve accadere che $\lim_{z \to \z_0}|1/f(z)|=$ $prop$ per qualche $z_0 in CC$
In che modo lo applico il Teorema Fondamentale dell'Algebra?
Per dire che $1/f(z)$ ha un polo deve accadere che $\lim_{z \to \z_0}|1/f(z)|=$ $prop$ per qualche $z_0 in CC$
In che modo lo applico il Teorema Fondamentale dell'Algebra?
Non è che devi applicare il teorema fondamentale dell'algebra... Quello che ti sta suggerendo gugo è che puoi provare a mimare la dimostrazione del teo.f.d.a. per ottenere la tua tesi.
Se $f$ non avesse zeri in $\mathbb{C}$, $1/f$ sarebbe analitica su $\mathbb{C}$ e $|1/f| \to 0$ per $|z| \to +\infty$. Quindi $1/f$ è limitata e, per il teorema di Liouville, si ha che...
Se $f$ non avesse zeri in $\mathbb{C}$, $1/f$ sarebbe analitica su $\mathbb{C}$ e $|1/f| \to 0$ per $|z| \to +\infty$. Quindi $1/f$ è limitata e, per il teorema di Liouville, si ha che...
Scusatemi non avevo capito...
...si ha che $f$ è costante, ma ciò non è possibile perchè $|f(z)| ->+prop$
Allora $f(z)$ ha almeno uno zero in $CC$.
Per concludere l'esercizio non devo dire che lo zero è semplice?
...si ha che $f$ è costante, ma ciò non è possibile perchè $|f(z)| ->+prop$
Allora $f(z)$ ha almeno uno zero in $CC$.
Per concludere l'esercizio non devo dire che lo zero è semplice?
In effetti l'esercizio non mi sembra abbia molto senso scritto così (correggimi se sbaglio). $f(z) = z^2$ è chiaramente una funzione analitica su tutto $\mathbb{C}$ e soddisfa le ipotesi richieste. Epperò si vede subito che $f^2$ ha un solo zero in $z_0 = 0$ e questo è di molteplicità 4.
Quello che si può dire secondo me sotto le ipotesi che ti sono date è che esiste almeno uno zero di molteplicità almeno due.
Quello che si può dire secondo me sotto le ipotesi che ti sono date è che esiste almeno uno zero di molteplicità almeno due.
Si sono d'accordo la funzione $z^4$ ha un solo zero in $z_0=0$ di molteplicità 3.
Quindi forse nel trascrivere l'esercizio il prof ha omesso la parola "almeno".
Allora per concludere basta dire che se $f$ ha uno zero in $z_0$ allora $f(z)=(z-z_0)h(z)$ e quindi $f^2(z)=(z-z_0)^2h^2(z)$
cioè z_0 è uno zero di molteplicità almeno 2 (perchè potrebbe anche essere che $h(z_0)=0$ )
Così è corretto?
Quindi forse nel trascrivere l'esercizio il prof ha omesso la parola "almeno".
Allora per concludere basta dire che se $f$ ha uno zero in $z_0$ allora $f(z)=(z-z_0)h(z)$ e quindi $f^2(z)=(z-z_0)^2h^2(z)$
cioè z_0 è uno zero di molteplicità almeno 2 (perchè potrebbe anche essere che $h(z_0)=0$ )
Così è corretto?
Mi sembra torni. 
Grazie mille 
e buone feste 
e buone feste
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