Esercizio derivata direzionale
Ciao 
potreste aiutarmi con questo esercizio?
$ f(x, y) = ye^(−x^2−y^2) $
determinare la derivata direzionale della funzione f nel punto di coordinate (0, 1) nella direzione
parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante nel verso delle x crescenti.
potreste aiutarmi con questo esercizio?$ f(x, y) = ye^(−x^2−y^2) $
determinare la derivata direzionale della funzione f nel punto di coordinate (0, 1) nella direzione
parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante nel verso delle x crescenti.
Risposte
La direzione della bisettrice del primo e terzo quadrante in direzione positiva è \((1,1)^T\). Non ti resta che calcolare la derivata direzionale!
Conosci la definizione?
Conosci la definizione?
Grazie! 
Allora per calcolare la derivata direzionale io ho provato a fare il prodotto scalare tra il gradiente della funzione f nel mio punto (0,1) per il vettore di norma unitaria. Se i miei calcoli sono giusti la derivata direzionale dovrebbe essere $ ( df)/(dv)= -1/(sqrt(2)*e) $,è giusto? Qualora la direzione fosse stata nel verso delle x decrescenti,allora le componenti del vettore sarebbero state $ (-1, -1) $?
Allora per calcolare la derivata direzionale io ho provato a fare il prodotto scalare tra il gradiente della funzione f nel mio punto (0,1) per il vettore di norma unitaria. Se i miei calcoli sono giusti la derivata direzionale dovrebbe essere $ ( df)/(dv)= -1/(sqrt(2)*e) $,è giusto? Qualora la direzione fosse stata nel verso delle x decrescenti,allora le componenti del vettore sarebbero state $ (-1, -1) $?
Ho problemi con una derivata direzionale anch'io. Vorrei calcolare la derivata direzionale di $x^y-2x+2y$ in 1,1 lungo 1,-3. Non essendo il vettore unitario l'ho normalizzato ottenendo $1/(10^(1/2)),-3/(10^(1/2))$. La derivata direzionale però mi viene $-oo$. Avendo problemi con gli artifizi chiedo con cortesia che qualcuno mi svolga l'esercizio per controllare. Grazie mille.
Allora i applicherei il teorema per il quale la derivata direzionale è pari al prodotto scalare tra gradiente della funzione nel punto (nel tuo caso $ (1 , 1) $) per il vettore di norma unitaria. Quindi andando a calcolare in gradiente nel punto in questione,le sue componenti sono$ (-1 , 2)$ .Facendo il prodotto scalare tra $ (-1 , 2) $ e $(1/sqrt(10) ,- 3/sqrt(10))$,la derivata direzionale secondo i miei calcoli dovrebbe essere uguale a $ (df)/(dv)=-7/sqrt(10) $.
Va bene, ma io vorrei essere capace di risolverla anche con il limite
"Vikhr":
Non essendo il vettore unitario l'ho normalizzato.
Ma no, non complicarti la vita, fallo alla fine. Ricorda che, detto \(v\) il vettore direzionale di \(u\), se \(u = \lambda v\) (dove ovviamente \(\lambda\) è uno scalare) \(\partial_u f(p) = \lambda \partial_v f(p)\) (questo è in realtà un fatto più generale, che vale per qualsiasi coppia di vettori paralleli), quindi quello è un conto che puoi fare alla fine. Se quanto dico ti è nuovo, prova a dimostrarlo.
Quanto ai conti, a me viene:
\[
\begin{split}
\partial_{(1,-3)} f(1,1) &= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left[ f(1 + t, 1 - 3t) - f(1,1) \right] =\\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left[ -1 -8t + (1+t)^{(1-3t)} \right] =\\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left[ -1 -8t + \exp( \log(1+t)^{(1-3t)}) \right] =\\
&= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left[ -1 -8t + \exp((1-3t) \log(1+t)) \right]
\end{split}
\]
tenendo conto che \( \lim_{t \to 0} \exp((1-3t) \log(1+t)) = 1 \) si ha \( \partial_{(1,-3)} f(1,1) = -8 \), ovvero, indicando con \(v\) il versore nella direzione di \((1,-3)\) concorde col suo verso: \( \partial_v f(1,1) = -8 / \sqrt{10}\).
Ci tengo a ricordare che la formula \(D_\mathbf{v}f = \nabla f \cdot \mathbf{v}\) è la tesi di un teorema ed è valida solo se la funzione è differenziabile.
Non mi sembra sia questo il caso, ma prima di applicarla a testa bassa è bene verificare le ipotesi!
Saluti
Non mi sembra sia questo il caso, ma prima di applicarla a testa bassa è bene verificare le ipotesi!
Saluti
Ciao Emar,allora mi consigli di andare a calcolare il limite per trovare le derivate direzionali? Se non sbaglio una condizione sufficiente per la validità di questa formula è che se le derivate parziali sono continue nel punto allora vale la formula del gradiente,senza ricorrere alla differenziabilità,ma forse mi sbaglio?
Grazie mille a tutti.
Quanto a me, non ho speranza. 3 mesi a studiare e non ho capito nulla. Almeno mi sono dato da fare.
Quanto a me, non ho speranza. 3 mesi a studiare e non ho capito nulla. Almeno mi sono dato da fare.
Vikhr l'esame di analisi 2 è tosto un po' per tutti,ma lo dobbiamo comunque fare,quindi forza! 
Lo dobbiamo fare tutti noi scienziati/ingegneri/architetti e questo è vero.
Ma è vero anche che io con la matematica sono sempre rimasto indietro rispetto agli altri, sin dalle elementari, perché mi perdevo sempre qualche pezzo per strada. E grazie a spiegazioni come quella di Epimenide ne ho ritrovato uno per volta, sempre.
Questo esame l'avrei dovuto fare l'anno scorso. Se avessi voluto farlo a tempo debito non avrei all'attivo 7/8 esami superati con voti medio/alti fra i quali Analisi 1 e forse essendo meno maturo avrei seriamente considerato l'idea di smettere e trovarmi un lavoro.
Ma è vero anche che io con la matematica sono sempre rimasto indietro rispetto agli altri, sin dalle elementari, perché mi perdevo sempre qualche pezzo per strada. E grazie a spiegazioni come quella di Epimenide ne ho ritrovato uno per volta, sempre.
Questo esame l'avrei dovuto fare l'anno scorso. Se avessi voluto farlo a tempo debito non avrei all'attivo 7/8 esami superati con voti medio/alti fra i quali Analisi 1 e forse essendo meno maturo avrei seriamente considerato l'idea di smettere e trovarmi un lavoro.
"maryenn":
Ciao Emar,allora mi consigli di andare a calcolare il limite per trovare le derivate direzionali?
Beh non necessariamente! Se sei nelle ipotesi di poter applicare il teorema puoi tranquillamente applicarlo.
"maryenn":
Se non sbaglio una condizione sufficiente per la validità di questa formula è che se le derivate parziali sono continue nel punto allora vale la formula del gradiente,senza ricorrere alla differenziabilità,ma forse mi sbaglio?
È giusto ma ti sei perso un passaggio:
1) - Se la funzione è differenziabile allora vale \(D_\mathbf{v}f = \nabla f \cdot \mathbf{v}\).
2) - Se le derivate parziali esistono e sono continue (\(f \in C^1\)) allora \(f\) è differenziabile.
1) + 2) - Se le derivate parziali esistono e sono continue allora vale la formula di cui sopra. Che è quello che dicevi tu.
Dato che la 2) è una condizione sufficiente ma non necessaria potrebbe essere che \(f \notin C^1\) ma che sia differenziabile e che la formula valga lo stesso.
Operativamente però si procede come hai detto: si vede se le derivate parziali esistono e sono continue nel punto, se non lo sono si dovrebbe fare il limite per verificare la differenziabilità nel punto per applicare la formula con il gradiente, ma si sta prima a calcolare il limite della derivata direzionale.
Okok ora mi è tutto più chiaro,grazie! Scusami per quanto riguarda l'esercizio che ho postato all'inizio,se le direzione fosse stata nel verso delle x decrescenti,il vettore v avrebbe avuto componenti $(-1, -1)$ ?
Scusami per quanto riguarda l'esercizio che ho postato all'inizio,se le direzione fosse stata nel verso delle x decrescenti,il vettore v avrebbe avuto componenti $(-1, -1)$ ?
Sì certo
Grazie !
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