Esercizio curve
Salve ragazzi ho questo esercizio:
$\varphi:[-1,2]-->RR^3$ $\varphi(t)={t^2,t^3,e^(t^2)}$
Mi si chiede di verificare se è una curva semplice.
Io ho ragionato così: ho verificato prima che la curva sia regolare e non lo è, ma è regolare a tratti sui due intervalli $[-1,0]$ e $[0,2]$. La definizione di curva semplice è che deve succedere: $\varphi(t_1)!=\varphi(t_2)$ io ho ragionato facendo la verifica tra due punti consecutivi qualsiasi, quali ad esempio $\varphi(-1)$ e $\varphi(-1/2)$ ed ho che i valori sono diversi è giusta la verifica oppure ce ne una più generale da fare in questi casi?
Ringrazio anticipatamente
$\varphi:[-1,2]-->RR^3$ $\varphi(t)={t^2,t^3,e^(t^2)}$
Mi si chiede di verificare se è una curva semplice.
Io ho ragionato così: ho verificato prima che la curva sia regolare e non lo è, ma è regolare a tratti sui due intervalli $[-1,0]$ e $[0,2]$. La definizione di curva semplice è che deve succedere: $\varphi(t_1)!=\varphi(t_2)$ io ho ragionato facendo la verifica tra due punti consecutivi qualsiasi, quali ad esempio $\varphi(-1)$ e $\varphi(-1/2)$ ed ho che i valori sono diversi è giusta la verifica oppure ce ne una più generale da fare in questi casi?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Lo fai per due punti e speri che sia vero per tutti? E che ragionamento sarebbe? Prendi due valori $a,b$ e chiediti: esistono tali valori in modo che $a^2=b^2,\ a^3=b^3,\ e^{a^2}=e^{b^2}$. Se sì, sotto quali condizioni? (A me, quella curva non pare semplice).
Scusa ciampax se insisto, ho capito il ragionamento ma non ho capito bene come applicarlo potresti essere più chiaro? No dal risultato dice che è semplice! Un ulteriore condizione per cui una curva è semplice è che deve essere un applicazione iniettiva, come posso sfruttare questa informazione?
P.S. il ragionamento che mi hai suggerito vale anche nel caso in cui lacurva è non chiusa? Mi spiego:
posso tranquillamente affermare che se: $a=-1$ e $b=2$ ossia gli estremi dell'intervallo e succede questo:
$a^2!=b^2$ ecc.... Vale il ragionamento?
Un ulteriore condizione per cui una curva è semplice è che deve essere un applicazione iniettiva, come posso sfruttare questa informazione?P.S. il ragionamento che mi hai suggerito vale anche nel caso in cui lacurva è non chiusa? Mi spiego:
posso tranquillamente affermare che se: $a=-1$ e $b=2$ ossia gli estremi dell'intervallo e succede questo:
$a^2!=b^2$ ecc.... Vale il ragionamento?
O sono io che non so risolvere le equazioni, oppure c'è qualcosa che non torna. Una curva è regolare se $\phi'(t)\ne 0$ per ogni $t\in[a,b]$. Ora visto che $\phi'(t)=(2t,3t^2,2t e^{t^2})$ si vede subito che essa si annulla per $t=0$. Pertanto, come giustamente dicevi, basta spezzare la curva nei due sottointervalli $[-1,0),\ (0,2]$ per avere regolarità tra i due rami.
Ora, una curva è semplice se è iniettiva: per definizione $\phi(t)$ è iniettiva se per ogni $t_1\ne t_2$ si ha pure $\phi(t_1)\ne\phi(t_2)$. Per verificare questa cosa si procede, normalmente così:
Prendi due valori qualsiasi $a,\ b$ tali che si abbia $\phi(a)=\phi(b)$: se i due valori risultano uguali, allora la curva è iniettiva, altrimenti, se trovi valori diversi, la curva non è iniettiva (e quindi non è semplice).
Se ora risolvi le equazioni $a^2=b^2,\ a^3=b^3,\ e^{a^2}=e^{b^2}$ (ottenute ponendo le componenti di $\phi(a)$ e $\phi(b)$ uguali, allora la terza condizione è verificata dalla prima, e si ha per la prima che $a=\pm b$, mentre per la terza $a=b$, pertanto l'unica soluzione possibile è $a=b$, e quindi la curva è iniettiva (semplice)
P.S.: non so perché, prima pensavo che l seconda componente fosse pure essa elevata ad una potenza pari!
Ora, una curva è semplice se è iniettiva: per definizione $\phi(t)$ è iniettiva se per ogni $t_1\ne t_2$ si ha pure $\phi(t_1)\ne\phi(t_2)$. Per verificare questa cosa si procede, normalmente così:
Prendi due valori qualsiasi $a,\ b$ tali che si abbia $\phi(a)=\phi(b)$: se i due valori risultano uguali, allora la curva è iniettiva, altrimenti, se trovi valori diversi, la curva non è iniettiva (e quindi non è semplice).
Se ora risolvi le equazioni $a^2=b^2,\ a^3=b^3,\ e^{a^2}=e^{b^2}$ (ottenute ponendo le componenti di $\phi(a)$ e $\phi(b)$ uguali, allora la terza condizione è verificata dalla prima, e si ha per la prima che $a=\pm b$, mentre per la terza $a=b$, pertanto l'unica soluzione possibile è $a=b$, e quindi la curva è iniettiva (semplice)
P.S.: non so perché, prima pensavo che l seconda componente fosse pure essa elevata ad una potenza pari!
okok capito! grazie mille sei stato molto chiaro
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