Esercizio convergenza serie

[valentina921]

Salve a tutti,
ho visto che ci sono già molti topic aperti su questo argomento ma non riesco comunque a risolvere i miei dubbi!
In un esercizio mi si chiede di determinare per quali x la serie data converge assolutamente, e per quali x converge semplicemente. La serie in questione è questa:

$\sum_{k=0}^oo (3k+2)/(2k+1) x^k$ .

Partendo dalla convergenza assoluta, ho pensato che questa serie si comporta come la serie geometrica $\sum_{k=0}^oo x^k$ , la quale converge se $-1 Poi passo alla convergenza semplice: in questo caso i termini della serie non sono tutti positivi, perchè se k è dispari e x è negativo la serie assume segno negativo, quindi non posso affermare che in questo caso la convergenza semplice coincide con quella assoluta. Però adesso non so come andare avanti, come faccio a stabilire la convergenza semplice?

Grazie in anticipo

Valentina

[poncelet]

Se hai studiato le serie di potenze saprai che c'è un metodo per determinare il raggio di convergenza e di conseguenza l'intervallo in cui hai convergenza semplice.

[valentina921]

Purtroppo le mie dispense liquidano il discorso in poche righe, e non fanno cenno a questo metodo; si soffermano piuttosto sulla convergenza assoluta, volendo far capire la differenza con quella semplice, ma di fatto non forniscono un modo per determinarle entrambe se non coincidono

[dissonance]

"valentina92":Partendo dalla convergenza assoluta, ho pensato che questa serie si comporta come la serie geometrica $\sum_{k=0}^oo x^k$ , la quale converge se $-1

Questo discorso non è corretto: o meglio, il risultato potrebbe pure esserlo ma non è giustificato a sufficienza. Non andare in panico: considera \(x\) come un parametro e studia la convergenza assoluta con uno dei soliti criteri, radice o rapporto. Il criterio della radice è indicato perché ti fa sparire quell'esponente alla \(\lvert x\rvert \).

[valentina921]

...allora: il criterio della radice dice che se vale $\lim_{n \to \infty} root(n)(a_n) = \lambda < 1$ allora la serie $\sum_{k=0}^oo a_n$ converge. Se io faccio quindi $\lim_{n \to \infty} root(k)(x^k) $ viene $\lim_{n \to \infty} n $che però va a infinito, mi sono incastrata

[dissonance]

No. Scrivi bene il termine generale della serie:

\[\frac{3k+2}{2k+1}x^k.\]

Il criterio della radice si applica a tutta questa roba qua, non solo a \(x^k\). E non ti scordare il valore assoluto: ricordati che i criteri di radice e rapporto sono criteri di assoluta convergenza.

[valentina921]

Ci sono riuscita con il criterio del rapporto: $\lim_{k \to \infty} (3k+5)/(2k+3) x^(k+1) (2k+1)/(3k+2) 1/x^k = $
$= \lim_{k \to \infty} (6k^2+13k+5)/(6k^2+13k+6) x = 1 x = x $ e quindi per $|x|<1 $la serie converge assolutamente. Così è giusto?

[dissonance]

Ok. Inoltre, per \(\lvert x \rvert >1\) la serie non converge. Ti restano da esaminare solo due casi particolari: \(x = \pm 1\). Questi te li devi vedere a mano uno per uno. Qui può esserci convergenza assoluta, convergenza semplice non assoluta oppure la serie può non convergere.

[valentina921]

Ok. Ma mi sono appena accorta che sugli appunti presi a lezione ho scritto che alcuni criteri per stabilire la convergenza di serie, come quello del rapporto, della radice, del confronto asintotico, si possono usare solamente con le serie a termini non negativi. E' così? Perchè se fosse così, questa serie non è a termini non negativi, quindi non potrei usare il criterio del rapporto per stabilirne la convergenza!

[poncelet]

I criteri che hai citato si applicano in effetti soltanto alle serie a termini definitivamente non negativi. Ecco perché li applichi al valore assoluto dei termini della serie. In tal modo, se ottieni la convergenza, si tratta di convergenza assoluta che, come dovresti sapere, implica quella puntuale.

[valentina921]

Ok, quindi questo è un metodo per trovare la convergenza assoluta; fino a qui ci sono. Ma ho pensato, anche se la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, questa coincide con la prima solo nelle serie a termini non negativi; se la serie non è a termini non negativi (come in questo caso), mi viene da pensare che l'intervallo di convergenza semplice, non coincidendo con la convergenza assoluta, è diverso da quello della convergenza assoluta;cioè, non coincide, visto che la serie non è a termini non negativi! Come si fa dunque a determinarlo?

[dissonance]

Sono d'accordo con max:

"dissonance":No. Scrivi bene il termine generale della serie:

\[\frac{3k+2}{2k+1}x^k.\]

Il criterio della radice si applica a tutta questa roba qua, non solo a \(x^k\). E non ti scordare il valore assoluto: ricordati che i criteri di radice e rapporto sono criteri di assoluta convergenza.

Riguardo l'ultima domanda, ripropongo questo:

Inoltre, per \(\lvert x \rvert >1\) la serie non converge. Ti restano da esaminare solo due casi particolari: \(x = \pm 1\). Questi te li devi vedere a mano uno per uno. Qui può esserci convergenza assoluta, convergenza semplice non assoluta oppure la serie può non convergere.

[valentina921]

Ok ho capito. Grazie mille!