Esercizio continuità funzione due varibili
Ragazzi il prof in un esame ha dato il seguente esercizio:
Data $f(x,y)= (x^2y^3)/(x^4+y^4)$ se $(x,y) != (0,0)$ Invece se $(x,y) = (0,0)$ la funzione è uguale a zero.
Mi chiede di dimostrare che è continua in $(0,0)$,e mi chiede di vedere se è derivabile e differenziabile in tale punto.
Ma che sia continua in quel punto mi sembra talmente ovvio che non riesco neanche a dimostrarlo. Ma che sia derivabile e differenziabile a quel punto non dipende solo dalla continuità? Perchè comunque le derivate parziali di 0 sono sempre le stesse!
Data $f(x,y)= (x^2y^3)/(x^4+y^4)$ se $(x,y) != (0,0)$ Invece se $(x,y) = (0,0)$ la funzione è uguale a zero.
Mi chiede di dimostrare che è continua in $(0,0)$,e mi chiede di vedere se è derivabile e differenziabile in tale punto.
Ma che sia continua in quel punto mi sembra talmente ovvio che non riesco neanche a dimostrarlo. Ma che sia derivabile e differenziabile a quel punto non dipende solo dalla continuità? Perchè comunque le derivate parziali di 0 sono sempre le stesse!
Risposte
Continuità non implica derivabilità ....
Si questo lo so! Ma in questo caso no?
Io costruirei il rapporto incrementale , facendo i conti a manina ! Che ne dici ?
"Mrhaha":
Ragazzi il prof in un esame ha dato il seguente esercizio:
Data $f(x,y)= (x^2y^3)/(x^4+y^4)$ se $(x,y) != (0,0)$ Invece se $(x,y) = (0,0)$ la funzione è uguale a zero.
..
Ma che sia continua in quel punto mi sembra talmente ovvio che non riesco neanche a dimostrarlo.
A me non sembra per niente ovvio invece, cosa ti fa pensare che sia continua senza nemmeno fare due conti?
@giuly19 . Se applichi la definizione di continuità e stimi $| (x^2y^3)/(x^4+y^4) |$ risulta minore di un epsilon molto piccolo quando $ sqrt(x^2+y^2) < del $ . Non credi ?
Sì lo credo, ma perchè ho fatto i conti. Detta così non hai dimostrato un bel niente!
Vabbè si! Altrimenti non avrebbe senso neanche parlare di matematica! 
Ovvia in quel senso! 
Ovvia in quel senso!
Quello che mi interessa capire è il dopo!
Io credo che nessuno di voi due abbia chiara la questione, applicare la definizione vuol dire trovare $delta$ per ogni $epsilon$, ovvero scrivere $delta(epsilon)$. Il fatto che in questo caso la definizione sia soddisfatta semplicemente con $delta = epsilon $ non è immediato, richiede di fare perlomeno un paio di maggiorazioni!
.... Bene è un tuo pensiero. A me sembra abbastanza semplice,e secondo me c'è di peggio!
La mia SOLA domanda è: Procedo sempre per definizione negli altri due punti o posso fare diversamente?
La mia SOLA domanda è: Procedo sempre per definizione negli altri due punti o posso fare diversamente?
"Giuly19":
Io credo che nessuno di voi due abbia chiara la questione, applicare la definizione vuol dire trovare $delta$ per ogni $epsilon$, ovvero scrivere $delta(epsilon)$. Il fatto che in questo caso la definizione sia soddisfatta semplicemente con $delta = epsilon $ non è immediato, richiede di fare perlomeno un paio di maggiorazioni!
Naturale , l'obiettivo è quello di trovare un delta proprio in funzione di epsilon . Comunque con tranquillità , giuly19
!
"menale":
... Comunque con tranquillità , giuly19
Infatti!
Scusate se posso esservi sembrato scontroso, ricominciamo che è meglio. 
Per provare la continuità di quella funzione, partiamo da quello, potreste scrivermi formalmente come pensate di fare?
Per derivabilità e differenziabilità il mio consiglio è quello di applicare sempre la definizione, per quanto riguarda la prima è facile perchè è un semplice limite in una variabile, per la seconda siamo di nuovo ad un limite in due variabili. Quindi proviamo a scrivere bene perchè quella funzione è continua, e il resto viene quasi da sè.
Per provare la continuità di quella funzione, partiamo da quello, potreste scrivermi formalmente come pensate di fare?
Per derivabilità e differenziabilità il mio consiglio è quello di applicare sempre la definizione, per quanto riguarda la prima è facile perchè è un semplice limite in una variabile, per la seconda siamo di nuovo ad un limite in due variabili. Quindi proviamo a scrivere bene perchè quella funzione è continua, e il resto viene quasi da sè.
Giuly ora va decisamente meglio.
Allora partiamo dalla continuità. Visto che secondo te non è semplice.
Quello che voglio dimostrare è che se prendo punti vicino a $(0,0)$ , questi debbano avere valori vicino a 0.
Quindi, consideriamo $|(x^2y^3)/(x^4+y^4)| <= |y| |(x^4+y^4)/(x^4+y^4)| <= |y|<= |(x,y)|$ e penso che il gioco è fatto no?
Dove $|(x,y)|$ è la norma!
Allora partiamo dalla continuità. Visto che secondo te non è semplice.
Quello che voglio dimostrare è che se prendo punti vicino a $(0,0)$ , questi debbano avere valori vicino a 0.
Quindi, consideriamo $|(x^2y^3)/(x^4+y^4)| <= |y| |(x^4+y^4)/(x^4+y^4)| <= |y|<= |(x,y)|$ e penso che il gioco è fatto no?
Dove $|(x,y)|$ è la norma!
Considerando qualche salto di passaggio , sostanzialmente la logica da applicare è proprio questa . Ripeto con qualche passaggio da rivedere nelle maggiorazioni . A tal punto possiam passare alla derivazione suvvia !
Vabbè non ho scritto tutto,èerchè mi scoccio! 
Eheheheheh , formalizza bene le cose , mr
Ma penso che prima di formalizzare le cose bisogna capirle! Poi qui era giusto per dichiarare i passi fondamentali!
Scusa se faccio sempre quello a cui non va bene niente 
ma sbaglio o hai usato questa maggiorazione : $|x^2y^2| <= |x^4+y^4|$ ? Può anche darsi che sia vera (lo è), ma potresti almeno farmi vedere perchè..
Comunque per la derivabilità inizia a scrivere questo limite e guarda che succede:
$lim_(t->0) (f(at,bt)-f(0,0))/t$ dove $(a,b)$ è un generico versore.
ma sbaglio o hai usato questa maggiorazione : $|x^2y^2| <= |x^4+y^4|$ ? Può anche darsi che sia vera (lo è), ma potresti almeno farmi vedere perchè.. Comunque per la derivabilità inizia a scrivere questo limite e guarda che succede:
$lim_(t->0) (f(at,bt)-f(0,0))/t$ dove $(a,b)$ è un generico versore.
Infatti ho fatto così Giuly! (ma scusami,sei un ragazzo giusto? è che non vorrei fare figuracce!) Mi sono basato sul fatto che $|2ab|<=a^2+b^2|$. Quindi da qui seguirebbe la mia minorazione.
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