Esercizio binomio di Newton
salve a tutti,
non capisco questo esercizio: dato il binomio (2x - (3/(2x^2)))^5, definire grazie al binomio di Newton se esistono i fattori x^6, x^5, x^0. Qualcuno potrebbe illuminarmi?
non capisco questo esercizio: dato il binomio (2x - (3/(2x^2)))^5, definire grazie al binomio di Newton se esistono i fattori x^6, x^5, x^0. Qualcuno potrebbe illuminarmi?
Risposte
L'esercizio ti sta dicendo: "O studente, sviluppa la potenza assegnata usando la formula del binomio e controlla se compaiono termini in \(x^6\), \(x^5\) o termini noti (cioé termini in \(x^0\)) nello sviluppo che hai trovato". 
a ok c'è un modo per saperlo senza fare lo sviluppo di Newton?
ad es. ricordo che si poteva porre (n-k) uguale a qualcosa...
c'è un modo per saperlo senza fare lo sviluppo di Newton?ad es. ricordo che si poteva porre (n-k) uguale a qualcosa...
In alcuni casi particolari, tipo questo, sì.
Ma, invece di cercare scorciatoie, ti converrebbe svolgere l'esercizio.
Ma, invece di cercare scorciatoie, ti converrebbe svolgere l'esercizio.
scusa se ti scoccio.. non ho chiaro neanche uno dei due procedimenti..
potresti farmi un esempio semplice? grazie in anticipo
potresti farmi un esempio semplice? grazie in anticipo
Devi sviluppare la potenza:
\[
\left( 2x - \frac{3}{2x^2}\right)^5
\]
con la formula del binomio.
Innanzitutto, conosci la formula del binomo? Come si sviluppa \((a+b)^5\)?
\[
\left( 2x - \frac{3}{2x^2}\right)^5
\]
con la formula del binomio.
Innanzitutto, conosci la formula del binomo? Come si sviluppa \((a+b)^5\)?
si, sviluppando trovo quello che mi serve :
-243/(32 x^10)+405/(8 x^7)-135/x^4+180/x-120 x^2+32 x^5
dove chiaramente compare il fattore x^5 e non compaiono i fattori x^6 e x^0 (ovvero termine noto).
Tuttavia utilizzando questo metodo scopiazzato (non so se sia giusto o sbagliato) ottengo:
- (x+a)^n=∑_(k=0)^n▒〖(n¦k) x^k a^(n-k) 〗
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)
----> poi pongo l'esponente -15 + 3k = 6, -15 + 3k = 5 e -15 + 3k = 0, se k risulta intero allora il fattore sussisterà.
Quindi in base a questo metodo esiste il fattore x^0 con k = 5, mentre il fattore x^5 esisterebbe per k= 20/3, il che non è possibile sia perchè frazionario sia perchè, per definizione, 0<=k<=n, lo stesso per il fattore x^6 che esisterebbe per k = 7, ma tuttavia k può essere al max 5. please help
-243/(32 x^10)+405/(8 x^7)-135/x^4+180/x-120 x^2+32 x^5
dove chiaramente compare il fattore x^5 e non compaiono i fattori x^6 e x^0 (ovvero termine noto).
Tuttavia utilizzando questo metodo scopiazzato (non so se sia giusto o sbagliato) ottengo:
- (x+a)^n=∑_(k=0)^n▒〖(n¦k) x^k a^(n-k) 〗
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)
----> poi pongo l'esponente -15 + 3k = 6, -15 + 3k = 5 e -15 + 3k = 0, se k risulta intero allora il fattore sussisterà.
Quindi in base a questo metodo esiste il fattore x^0 con k = 5, mentre il fattore x^5 esisterebbe per k= 20/3, il che non è possibile sia perchè frazionario sia perchè, per definizione, 0<=k<=n, lo stesso per il fattore x^6 che esisterebbe per k = 7, ma tuttavia k può essere al max 5. please help
mi correggo, il fattore x=0 esiste ( 32x^5), ma non capisco perchè il metodo "scopiazzato" mi dice che il fattore x^5 non esiste. sempre che il metodo sia effettivamente corretto.
spiego meglio il passaggio:
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)
-------> nel secondo fattore elevato ^ n-k, ossia ((3/(2x^2)))^n-k, ho trasformato in ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)) in modo che reputo abbastanza semplice
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)
-------> nel secondo fattore elevato ^ n-k, ossia ((3/(2x^2)))^n-k, ho trasformato in ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k)) in modo che reputo abbastanza semplice
correggo: (2x - (3/(2x^2)))^5 -----> (2x - (3/(2x^3)))^5
il 2x al denominatore è elevato ^ 3, non al quadrato... sorry
il 2x al denominatore è elevato ^ 3, non al quadrato... sorry
riscrivo tutto per una maggiore chiarezza:
ho il binomio (2x - (3/(2x^3)))^5 , uso sviluppo di Newton:
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k))
ottengo dunque al posto di ^n-k (secondo fattore) ----> -15 +3k ( ottenuto sostituendo n =5 e moltiplicando -3(5-k), poichè il denominatore del secondo fattore era elevato^ 3 , portandolo al numeratore diventa ^(-3))
poi effettuo il metodo scopiazzato, ossia pongo -15 + 3k = alla potenza del fattore della cui esistenza cerco conferma.
Spero di essere stato chiaro
ho il binomio (2x - (3/(2x^3)))^5 , uso sviluppo di Newton:
Σ (-1)^n (coefficiente binomiale con k che va da 0 a 7) (2x)^n ((3)^(n-k) * (∛2 *x)^ (-15+3k))
ottengo dunque al posto di ^n-k (secondo fattore) ----> -15 +3k ( ottenuto sostituendo n =5 e moltiplicando -3(5-k), poichè il denominatore del secondo fattore era elevato^ 3 , portandolo al numeratore diventa ^(-3))
poi effettuo il metodo scopiazzato, ossia pongo -15 + 3k = alla potenza del fattore della cui esistenza cerco conferma.
Spero di essere stato chiaro
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