Esercizio atipico

[escucho]

Data la f(x) = $ e^{x}-sin x-3x $ calcolane i limiti per $ lim_(x -> -oo) $ e $ lim_(x -> +oo) $ e provare che esiste un numero reale alfa compreso tra 0 e 1 a cui f(x) si annulla. Il tutto da dimostrare con il teorema di rolle. Ho provato ad applicare il teorema ma niente e nemmeno provando per assurdo che esistano altre soluzioni son riuscito a risolverlo. Mi dareste una mano gentilmente? Vi ringrazio in anticipo.

[Seneca1]

Prima di tutto ti chiedo: hai calcolato i due limiti? Se sì, quanto valgono?


EDIT: Perché il teorema di Rolle? Basta il teorema degli zeri.

[escucho]

i due limiti gli ho calcolati ed entrambi risultano oo dici che con il teorema degli zeri la via è meno ostica? comunque ho chiesto con rolle perchè la richiesta è di dimostrarlo con quello.

[Seneca1]

$f(0) = 1$ mentre $f(1) = e - sin(1) - 3$

E' lampante che $f(1) < 0$ , quindi, essendo $f$ continua, si è provata l'esistenza dello zero $alpha in (0,1)$.

Non mi pare affatto ostico...

[escucho]

e quindi essendo soddisfatte le ipotesi del teorema di rolle ovvero f(x) continua e derivabile sull'intervallo a;b basta fare questa sostituzione seneca? e io che mi stavo facendo troppi trip mentali

[Seneca1]

"escucho":e quindi essendo soddisfatte le ipotesi del teorema di rolle ovvero f(x) continua e derivabile sull'intervallo a;b basta fare questa sostituzione seneca? e io che mi stavo facendo troppi trip mentali

No, niente Rolle... Ho applicato il teorema degli zeri!

Non vedo la necessità di usare Rolle.

[Paolo902]

Tra l'altro, non mi pare proprio che su $[0,1]$ siano verificate tutte le ipotesi di Rolle...

[escucho]

giusto paolo visto che f(a) /= f(b) non è cosi? quindi decadendo una ipotesi di rolle l'unico modo per spiegarlo è usare il teorema degli zero come ha detto seneca?

[Seneca1]

Non so se è l'unico... E' sicuramente il più immediato e naturale.

[Raptorista1]

A meno che.... Il problema chiede di verificare che esista almeno una soluzione oppure esattamente una soluzione?

Nel secondo caso, è un esercizio che ho visto sul libro del liceo ed ha una soluzione prefabbricata, nemmeno troppo furba IMHO.

[escucho]

Ovvero Raptorista? quale sarebbe? se no aggiro con il teorema degli zeri e buonanotte

[Raptorista1]

Se ti chiedesse di provare che lo zero è unico, oltre ad averne dimostrato l'esistenza col teorema apposito, dovresti dire....
Assumiamo che ci siano due zeri nell'intervallo dato, siamo \(x_0\) e \(x_1\).
La funzione \(f\) soddisfa le ipotesi del Th di Rolle in \([x_0,x_1]\), dunque \(\exists \tilde{x} \in [x_0,x_1] : f'(\tilde{x} = 0\).

Ma questo non succede, quindi lo zero è unico.

[escucho]

ok perfetto ho capito grazie mille raptor