Esercizio 2 sui massimi e minimi vincolati
Buonasera a tutti, sto svolgendo un esercizio sui massimi e minimi vincolati e non sono sicuro se il procedimento che ho seguito è corretto. Grazie mille per l'aiuto.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y)= $ e^(3x-ln(y)) $ calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme D={ $ e^(3x)<=y<=e^(2x) $ , $ |x|<=5 $ }.
SVOLGIMENTO
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ $ ∇f(x,y)=((3e^(3x))/y,-e^(3x)/y^2) $ $
Non ci sono punti critici in quanto non ci sono punti che annullano le componenti del gradiente.
3. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Ponendo $ e^(3x)<=e^(2x) $ ricavo $ -5<=x<=0 $ e $ 0<=y<=1 $ . D è un insieme compatto (chiuso e limitato) e f(x,y) è una funzione continua pertanto per il teorema di Weierstrass f(x,y) ammette massimo e minimo assoluto in A. Dato che $ e^(3x)<=e^(2x) $ con
$ x<=0 $ , allora posso scrivere così D={ $ e^(3x)<=y<=e^(2x) $ , $ -5<=x<=0 $ }
4. Considero le intersezioni tra le restrizioni del dominio D per trovare eventuali punti di spigolo. Ottengo i seguenti sistemi lineari:
$ { ( y=e^(3x) ),( y=e^(2x)):} $
$ { ( y=e^(3x) ),( x = -5):} $
$ { ( y=e^(2x) ),( x = -5):} $
Risolvendo i tre sistemi lineari, ottengo i punti di spigolo A = (0,1), B = (-5,e^-15), C = (-5,e^-10).
5. Ora applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Costruisco la matrice Lagrangiana, la derivo rispetto alle tre variabili x,y,a e risolvo il sistema lineare che ottengo ponendo le 3 derivate ottenute uguali a 0.
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(e^(3x)-y) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-3a*e^(3x)=0 ),( (-e^(3x))/y^2+a=0 ),( y-e^(3x)=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(e^(2x)-y) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-2a*e^(2x)=0 ),( (-e^(3x))/y^2+a=0 ),( y-e^(2x)=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(x+5) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-a=0 ),( (-e^(3x))/y^2=0 ),(-x-5=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(x) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-a=0 ),( (-e^(3x))/y^2=0 ),( -x=0 ):} $
Tutti questi sistemi lineari non hanno soluzioni pertanto i punti da considerare sono i punti critici:
A = (0,1), B = (-5,e^-15), C = (-5,e^-10), da cui f(A)=f(B)=1 mentre f(C)=6,74*10^-3.
I punti A e B sono i punti di massimo assoluto di f(x,y) ristretta ad A mentre i punti C è il punto di minimo assoluto di f(x,y) ristretta ad A.
CONSEGNA:
Data la funzione f(x,y)= $ e^(3x-ln(y)) $ calcola i massimi e i minimi della funzione vincolati all'insieme D={ $ e^(3x)<=y<=e^(2x) $ , $ |x|<=5 $ }.
SVOLGIMENTO
2. Ho determinato i punti critici della funzione, pertanto ho calcolato le componenti del gradiente, in quanto i punti critici sono i punti che annullano le componenti del gradiente.
$ $ ∇f(x,y)=((3e^(3x))/y,-e^(3x)/y^2) $ $
Non ci sono punti critici in quanto non ci sono punti che annullano le componenti del gradiente.
3. Successivamente ho considerato f(x,y) ristretta a D. Ponendo $ e^(3x)<=e^(2x) $ ricavo $ -5<=x<=0 $ e $ 0<=y<=1 $ . D è un insieme compatto (chiuso e limitato) e f(x,y) è una funzione continua pertanto per il teorema di Weierstrass f(x,y) ammette massimo e minimo assoluto in A. Dato che $ e^(3x)<=e^(2x) $ con
$ x<=0 $ , allora posso scrivere così D={ $ e^(3x)<=y<=e^(2x) $ , $ -5<=x<=0 $ }
4. Considero le intersezioni tra le restrizioni del dominio D per trovare eventuali punti di spigolo. Ottengo i seguenti sistemi lineari:
$ { ( y=e^(3x) ),( y=e^(2x)):} $
$ { ( y=e^(3x) ),( x = -5):} $
$ { ( y=e^(2x) ),( x = -5):} $
Risolvendo i tre sistemi lineari, ottengo i punti di spigolo A = (0,1), B = (-5,e^-15), C = (-5,e^-10).
5. Ora applico il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Costruisco la matrice Lagrangiana, la derivo rispetto alle tre variabili x,y,a e risolvo il sistema lineare che ottengo ponendo le 3 derivate ottenute uguali a 0.
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(e^(3x)-y) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-3a*e^(3x)=0 ),( (-e^(3x))/y^2+a=0 ),( y-e^(3x)=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(e^(2x)-y) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-2a*e^(2x)=0 ),( (-e^(3x))/y^2+a=0 ),( y-e^(2x)=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(x+5) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-a=0 ),( (-e^(3x))/y^2=0 ),(-x-5=0 ):} $
Poi ....
$ L(x,y,a) = e^(3x-ln(y))- a(x) $
da cui ottengo
$ { ( (3e^(3x))/y-a=0 ),( (-e^(3x))/y^2=0 ),( -x=0 ):} $
Tutti questi sistemi lineari non hanno soluzioni pertanto i punti da considerare sono i punti critici:
A = (0,1), B = (-5,e^-15), C = (-5,e^-10), da cui f(A)=f(B)=1 mentre f(C)=6,74*10^-3.
I punti A e B sono i punti di massimo assoluto di f(x,y) ristretta ad A mentre i punti C è il punto di minimo assoluto di f(x,y) ristretta ad A.
Risposte
Ciao Criss,
Anche in questo caso l'hai fatta un po' lunga, in particolare non capisco la ragione dell'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange quando i punti li hai già trovati...
Innanzitutto osserverei che la funzione $z = f(x,y) = e^(3x-ln(y)) = e^(3x)/y $ è definita per $y > 0 $ e siccome anche l'esponenziale è sempre positivo sicuramente si ha $z > 0 $; il fatto che sia $ D = {(x, y) \in \RR^2 : e^(3x) \le y \le e^(2x), |x| \le 5} $ ci conferma che $y > 0 $ ed in particolare $y = 1 $ per $x = 0 $ (punto di intersezione fra le due curve esponenziali che sono sempre crescenti). Quindi non è possibile che $y = 0 $ come
mentre invece è vero che dalla disequazione $e^{3x} \le e^{2x} $ si ottiene $x \le 0 $, ma siccome in $D$ la $x$ è compresa fra $-5 $ e $5 $ allora ci basta considerare $- 5 \le x \le 0 $
Osserverei altresì che quando $y = e^{3x} $ il valore della $x$ è irrilevante e $\forall x \in D $ si ha sempre $z = f(x, y) = 1 $, quindi tutti i punti sulla curva $y = e^{3x} $ sono punti di massimo, non solo i punti che hai indicato con $A$ e $B$, ma anche tutti quelli fra $A$ e $B$ che stanno sulla curva $y = e^{3x} $
Invece quando $y = e^{2x} $ la funzione diventa la semplice esponenziale $z = e^x $ ed ovviamente per $x = 0 $ si riottiene il punto $A(0, 1) $ e di nuovo $z_A = 1 $, mentre per $x = - 5 $ si ha $y = e^{- 10} $ da cui il punto di minimo $C(- 5, e^{- 10}) $ e $ z_C = e^{-5} $
Anche in questo caso l'hai fatta un po' lunga, in particolare non capisco la ragione dell'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange quando i punti li hai già trovati...
Innanzitutto osserverei che la funzione $z = f(x,y) = e^(3x-ln(y)) = e^(3x)/y $ è definita per $y > 0 $ e siccome anche l'esponenziale è sempre positivo sicuramente si ha $z > 0 $; il fatto che sia $ D = {(x, y) \in \RR^2 : e^(3x) \le y \le e^(2x), |x| \le 5} $ ci conferma che $y > 0 $ ed in particolare $y = 1 $ per $x = 0 $ (punto di intersezione fra le due curve esponenziali che sono sempre crescenti). Quindi non è possibile che $y = 0 $ come
"Criss":
[...] e $0<=y<=1 $
mentre invece è vero che dalla disequazione $e^{3x} \le e^{2x} $ si ottiene $x \le 0 $, ma siccome in $D$ la $x$ è compresa fra $-5 $ e $5 $ allora ci basta considerare $- 5 \le x \le 0 $
Osserverei altresì che quando $y = e^{3x} $ il valore della $x$ è irrilevante e $\forall x \in D $ si ha sempre $z = f(x, y) = 1 $, quindi tutti i punti sulla curva $y = e^{3x} $ sono punti di massimo, non solo i punti che hai indicato con $A$ e $B$, ma anche tutti quelli fra $A$ e $B$ che stanno sulla curva $y = e^{3x} $
Invece quando $y = e^{2x} $ la funzione diventa la semplice esponenziale $z = e^x $ ed ovviamente per $x = 0 $ si riottiene il punto $A(0, 1) $ e di nuovo $z_A = 1 $, mentre per $x = - 5 $ si ha $y = e^{- 10} $ da cui il punto di minimo $C(- 5, e^{- 10}) $ e $ z_C = e^{-5} $
Grazie infinite per la risposta
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