Esercizio 1-varietà

[paolodlb]

Ciao a tutti, poichè non trovo spiegazioni chiare su questo argomento, volevo chiedere qual è il procedimento generale per capire se un insieme può essere considerato una 1-varietà compatta. Nello specifico mi serve la risoluzione di questo esercizio:
Sia C⊂ R3 l'insieme dato dal seguente sistema di equazioni
{x^2+y^2+z=1, x^2+z^2=1/2}
Stabilire se C è una 1-varietà compatta di R3.
Grazie

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[vict85]

Una volta risolto il sistema ti basta usare la definizione. Dove ti blocchi?

[paolodlb]

ok inizialmente anche io dimostro che C non è vuoto trovando dei valori che soddisfino il sistema.. non so a quale definizione tu ti riferisca nello specifico perché sui miei appunti una k-varietà viene definita come una superficie caratterizzata da un insieme di punti k-regolari (altra definizione che non mi è chiara).. nella risoluzione del prof vedo che la somma dei quadrati dei minori della jacobiana deve essere diversa da zero (in modo che il rango abbia caratteristica massima) e se questo vale per ogni punto di C allora C e 1-varietà. E' un procedimento generale? qual'è la definizione da applicare qui?

[vict85]

In matematica non puoi lavorare con qualcosa che non sai definire. Non vedo questi argomenti in un corso di analisi base da parecchi anni e dovrei andare alla ricerca delle definizioni nei miei vecchi libri di analisi. Per me una varietà è uno spazio che localmente "assomiglia" ad un aperto di \(\mathbb{R}^k\) (la definizione di assomiglia dipende dal tipo di varietà). Siccome tu lavori con varietà immerse, si tratta di un sottospazio topologico di \(\mathbb{R}^n\) "simile" ad \(\mathbb{R}^k\). Potrei darti una definizione formale, ma non voglio confonderti. Sarebbe più utile se scrivessi le tue definizioni e ti aiutassimo a comprenderle, piuttosto che darti definizioni differenti.

Per quanto riguarda la compattezza spero che tu utilizzi la definizione topologica. Il sottospazio \(\displaystyle C \) è "banalmente" compatto in quanto chiuso e limitato in \(\mathbb{R}^3\).