Esercizi sull'ordine di infinitesimo

[Sk_Anonymous]

Ciao, sto facendo alcuni esercizi del professore sull'ordine di infinito-infinitesimo. Studiando per bene la teoria, ho capito che per determinare l'ordine di infinito-infinitesimo di una funzione, bisogna confrontare tale funzione con un infinito-infinitesimo campione. Negli esercizi del professore, invece, mi dice di calcolare il limite di un rapporto di due funzioni, e, successivamente, di determinarne l'ordine. Quello che non ho capito è rispetto a cosa calcolo l'ordine. Per esempio, $f(x)=(e^(x^2-1)-1)/sqrt(logx)$. Bisogna calcolare il limite per x che tende a $1^+$. Arrivo all'ultimo passaggio, dopo opportune semplificazioni, con il termine $2sqrt(z)(1+o(1))$, il che significa che il limite è 0. Il prof poi dice che l'ordine di infinitesimo è 1/2. Quello che non ho capito è: 1/2 rispetto a cosa? Il numeratore ha ordine di infinitesimo 1/2 rispetto al denominatore, o viceversa? Insomma, l'ordine di infinitesimo non è sempre riferito a qualcosa? Se io dico che viaggio a 100 Km/h, è logico che debba porre un sistema di riferimento, dicendo che viaggio a 100 km/h rispetto per esempio a un qualcosa di fermo sulla strada. Qui, invece, qual è il riferimento? Grazie per l'aiuto

[yellow2]

Da me era così, probabilmente la definizione che usa il tuo professore è la stessa:
$f$ si dice infinitesima di ordine $alpha$ in $x_0$ (in senso assoluto quindi) se è dello stesso ordine di $|x-x_0|^alpha$.
In sostanza il tuo dubbio era legittimo, l'assolutezza deriva solo dal confronto con un riferimento standard.

[Zilpha]

Si utilizza come infinitesimo campione di ordine 1 per $ x -> x0 $ la funzione $g(x)= x-x0 $. A questo punto la funzione $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $ a $ per $ x -> x0 $ se risulta $ lim_(x -> x0) f(x)/(g(x)^a)=l!=0 $

[Sk_Anonymous]

ok, quindi, una volta calcolato il limite di quella funzione, calcolo il limite del rapporto tra f(x) e quella campione, g(x). L'ordine è dunque quella potenza alla quale va elevata la funzione infinitesima campione affinchè quel rapporto converga ad un limite finito, giusto?

[yellow2]

Sì però il modulo è da qualche parte lo devi mettere, avevo visto un esempio di un utente di questo forum che ne illustrava bene il motivo:

$|x|/x=sgn(x)$ non ha limite per $x->0$, quindi concluderesti che la funzione $|x|$ NON è infinitesimo di ordine 1.

Qual è la definizione che hai di infinitesimi equivalenti?

EDIT: ah tra l'altro $alpha$ è un qualsiasi numero reale, quindi $(g(x))^alpha$ non ha senso per $g(x)$ negativa.

[Sk_Anonymous]

"yellow":Sì però il modulo è da qualche parte lo devi mettere, avevo visto un esempio di un utente di questo forum che ne illustrava bene il motivo:

$|x|/x=sgn(x)$ non ha limite per $x->0$, quindi concluderesti che la funzione $|x|$ NON è infinitesimo di ordine 1.

Qual è la definizione che hai di infinitesimi equivalenti?

EDIT: ah tra l'altro $alpha$ è un qualsiasi numero reale, quindi $(g(x))^alpha$ non ha senso per $g(x)$ negativa.

ok, invece per gli infiniti qual è l'infinito campione?

Due infinitesimi sono equivalenti, se, sostituiti tra loro, non alterano il risultato del limite.

[yellow2]

Quella definizione è un po' una presa in giro ed è operativamente inutile, visto che sostituire nel limite è proprio quello che ti serve!
Per gli infiniti, considerando che puoi ribaltarli e pensarli come infinitesimi, direi che puoi prendere $1/|x-x_0|$ ma non so se davvero venga usato.
Più che altro quello che manca in tutto questo sono i limiti per $x->oo$, e anche qui non so dirti se qualcuno usi infiniti/infinitesimi campione.

[Sk_Anonymous]

ok, comunque l'ordine di infinitesimo non esiste se la funzione che sto studiando e la funzione con la quale la confronto sono di "natura" diversa?
cioè, è come se confrontassi capperi con patate?