Esercizi sulla convergenza di serie numeriche
Salve a tutti! Sono nuovo del forum, vorrei proporvi 2 esercizi che ho provato a risolvere e di cui purtroppo non possiedo una soluzione!
Il primo esercizio è il seguente:
Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie: $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1+(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$
Io ho spezzato la serie in $sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^5+exp(-x)}+sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$
riconoscendo che il termine generale $frac{1}{n^5+exp(-x)}$ è sempre minore o uguale a $frac{1}{n^5}$ che converge, e quindi non crea problemi ai fini della convergenza. Poi ho analizzato $sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$ e ho applicato il criterio di Leibnitz, e ho scoperto che converge semplicemente! E' corretto?
Invece non converge assolutamente poiché $frac{n^4}{n^5+exp(-x)}$ è asintotico a $frac{1}{n}$ che è il termine generale di una serie divergente.
Il secondo esercizio è questo:
Determinare il carattere della serie al variare del parametro reale a: $f(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{n^a}{(logn)^logn}$ in cui log è il logaritmo naturale.
In questo secondo esercizio purtroppo non ho idea di come comportarmi!!Grazie per l'attenzione
Il primo esercizio è il seguente:
Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie: $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1+(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$
Io ho spezzato la serie in $sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^5+exp(-x)}+sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$
riconoscendo che il termine generale $frac{1}{n^5+exp(-x)}$ è sempre minore o uguale a $frac{1}{n^5}$ che converge, e quindi non crea problemi ai fini della convergenza. Poi ho analizzato $sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$ e ho applicato il criterio di Leibnitz, e ho scoperto che converge semplicemente! E' corretto?
Invece non converge assolutamente poiché $frac{n^4}{n^5+exp(-x)}$ è asintotico a $frac{1}{n}$ che è il termine generale di una serie divergente.
Il secondo esercizio è questo:
Determinare il carattere della serie al variare del parametro reale a: $f(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{n^a}{(logn)^logn}$ in cui log è il logaritmo naturale.
In questo secondo esercizio purtroppo non ho idea di come comportarmi!!Grazie per l'attenzione
Risposte
allora riguardo a questa serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (n^\alpha)/((\ln n)^{\ln n})$
fai $(n^\alpha)/(\exp (\ln(\ln n) \ln n))= (1)/(n^{\ln(\ln n)-\alpha})\leq (1)/(n^{2-\alpha})$
quindi per confronto
$\sum (1)/(n^{2-\alpha})$ converge $2-\alpha>1 \rightarrow \alpha<1$
allora la tua serie di partenza $\sum a_n$ converge $\Leftrightarrow \alpha <1$
fai $(n^\alpha)/(\exp (\ln(\ln n) \ln n))= (1)/(n^{\ln(\ln n)-\alpha})\leq (1)/(n^{2-\alpha})$
quindi per confronto
$\sum (1)/(n^{2-\alpha})$ converge $2-\alpha>1 \rightarrow \alpha<1$
allora la tua serie di partenza $\sum a_n$ converge $\Leftrightarrow \alpha <1$
Per quanto riguarda questa
assolutamente non converge perchè $|a_n|\sim (n^4)/(n^5)=1/n$
dunque bisogna far vedere se converge semplicemente tramite Leibniz
le ipotesi del teorema di Leibniz sono:
1. $a_n>0 \forall n$
2. $a_n\geq a_{n+1} \forall n$
3. $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n =0$
riscrivo così il termine generale $a_n=(1)/(n^5+e^{-n})+(-1)^n (n^4)/(n^5+e^{-n})$, chiamo $b_n=(1)/(n^5+e^{-n})$ che converge!
mentre chiamo $c_n=(-1)^n (n^4)/(n^5+e^{-n})$ bisogna dimostrare che è decrescente, lo si può fare facilmente con la sua derivata prima..che se viene negativa è decrescente..
la derivata prima di $c_n$ è $-(e^n n^3(e^n n^5-n-4))/((e^n n^5+1)^2)$ cioè è negativa.. quindi è DECRESCENTE..
quindi converge semplicemente per Leibniz!
"Andre92":
Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie: $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1+(-1)^n(n^4)}{n^5+exp(-x)}$
assolutamente non converge perchè $|a_n|\sim (n^4)/(n^5)=1/n$
dunque bisogna far vedere se converge semplicemente tramite Leibniz
le ipotesi del teorema di Leibniz sono:
1. $a_n>0 \forall n$
2. $a_n\geq a_{n+1} \forall n$
3. $\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n =0$
riscrivo così il termine generale $a_n=(1)/(n^5+e^{-n})+(-1)^n (n^4)/(n^5+e^{-n})$, chiamo $b_n=(1)/(n^5+e^{-n})$ che converge!
mentre chiamo $c_n=(-1)^n (n^4)/(n^5+e^{-n})$ bisogna dimostrare che è decrescente, lo si può fare facilmente con la sua derivata prima..che se viene negativa è decrescente..
la derivata prima di $c_n$ è $-(e^n n^3(e^n n^5-n-4))/((e^n n^5+1)^2)$ cioè è negativa.. quindi è DECRESCENTE..
quindi converge semplicemente per Leibniz!
Grazie mille!! 
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