Esercizi sui limiti
Scusate, devo assolutamente consegnare questi esercizi risolti entro settimana prossima, ma non mi vengono. C'è qualcuno che gentilmente potrebbe darmi una mano? Se non tutti almeno qualcuno... Se avete tempo e la possibilità di aiutarmi, per favore... datemi una manina, vi supplico...
Risposte
Per il secondo quesito devi semplicemente mostrare che l'esponenziale cresce più velocemente del fattoriale (ovviamente considerando $n$$>=1$). Puoi dividere numeratore e denominatore per $n$, ottenendo:
$\lim_{n\to \infty}($n^${n-1}$/($n$-$1$)$!$)= +∞
Che è uguale proprio a +∞, in quanto l'ordine di infinito del numeratore è superiore a quello del denominatore.
$\lim_{n\to \infty}($n^${n-1}$/($n$-$1$)$!$)= +∞
Che è uguale proprio a +∞, in quanto l'ordine di infinito del numeratore è superiore a quello del denominatore.
Quesito 1
a) pensa cosa fa il seno nei multipli di due pigreco
a) pensa cosa fa il seno nei multipli di due pigreco
@OP
Và bene che tutti i quesiti sono interessanti,ed in alcuni casi nient'affatto elementari(corso di Analisi II?),
ma almeno qualche tuo tentativo di risoluzione proprio no?
Saluti dal web.
Và bene che tutti i quesiti sono interessanti,ed in alcuni casi nient'affatto elementari(corso di Analisi II?),
ma almeno qualche tuo tentativo di risoluzione proprio no?
Saluti dal web.
No, purtroppo ho difficoltà nel risolverli. Mi blocco quasi subito nei calcoli. Posterei solo le formule base per poi bloccarmi nella parte del calcolo.
Ci sto passando giorno e notte senza concludere niente. Di solito evito di chiedere aiuto, ma devo assolutamente riuscire a risolverli e capirli entro sabato prossimo, se non tutti almeno quelli in cui si chiede di calcolare, altrimenti dovrò dire addio alla matematica per sempre, purtroppo (Storia lunga). E mi spiacerebbe con tutta la fatica che ho fato per poter iniziare questo percorso.
Grazie mille intanto a voi che mi state aiutando, siete davvero gentili.
Ci sto passando giorno e notte senza concludere niente. Di solito evito di chiedere aiuto, ma devo assolutamente riuscire a risolverli e capirli entro sabato prossimo, se non tutti almeno quelli in cui si chiede di calcolare, altrimenti dovrò dire addio alla matematica per sempre, purtroppo (Storia lunga). E mi spiacerebbe con tutta la fatica che ho fato per poter iniziare questo percorso.
Grazie mille intanto a voi che mi state aiutando, siete davvero gentili.
Sai cos'è uno spazio di Banach?
Più o meno sì.
No, ti deve essere chiaro di cosa stiamo parlando altrimenti è inutile che ti cimenti in cose su cui non sai dove mettere mano. Gli esercizi che hai proposto sono un pò di calcolo 1 e un pò di analisi 1(riferendomi al programma didattico svolto da me) e se non ricordo male hai cominciato da poco a studiare analisi matematica, dunque l'unico consiglio che posso darti è: prenditi tutto il tempo che ti serve e non avere fretta sennò rischi che non ci capisci nulla (come adesso).
È vero, ho iniziato da poco e ci sto mettendi tutto l'impegno possibile. Venendo da Lettere sono piú undietro rispetto ad altri perché ho meno fresche certe cose. Purtroppo se non consegno questi esercizi, almeno una parte di essi, entro settimana prossima dovró lasciare questa strada e mi spiacerebbe molto con tutti i sacrifici che ho fatto per intraprenderla. Vorrei continuare a intraprendere questo cammino che è il mio sogno.
Vorrei riuscire a capire questi esercizi... Vorrei continuare con la matematica.
Vorrei riuscire a capire questi esercizi... Vorrei continuare con la matematica.
"dan95":
Sai cos'è uno spazio di Banach?
Comunque il quesito 10 è facoltativo, mi avrebbe solo dato un bel po' di punti in più. Per passare il test mi basta riuscire risolvere gli esercizi di calcolo. Se faccio anche gli altri il punteggio sale. E tutti + il quesito 10 mi darà diritto ad un bonus.
1)
a) usi il fatto che \(\sin(2 \pi n)=0\) per ogni n intero, quindi il limite è \(0\)
b) moltiplichi e dividi per $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ottieni
$$(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos n+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin n}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n=(\frac{sin{n+\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n\leq (\frac{2}{\sqrt{6}})^n$$
L'ultimo elemento maggiora il tuo limite e nel limite di n che va a infinito trovi che tende a $0$ e quindi trovi che il limite va a 0
Oppure osservi che si può riscrivere come
$$(\cos n+\sin n)^n \sqrt{3}^{-n}$$
la parte in seno e coseno è limitata mentre la parte in $\sqrt{3}^{-n}$ tende a 0
c)
Non so bene come trattare il limite superiore, comunque penso che basti prendere gli n pari, per questi valori hai che la successione è massima, cioè stai considerando la successione degli estremi superiori penso
quindi il tutto diventa
$$\frac{1-sin((2n)\frac{\pi}{2})}{2+cos(\pi(2n))}=\frac{1}{2}$$
se consideri un n dispari invece il limite è $0$
2) puoi usare l'approsimazione di stirling per il fattoriale
$$\frac{n^{n}}{n!}=\frac{n^{n}}{n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}=\frac{1}{e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}$$
che tende a infinito poiche $e^{-n}$ tende a 0 più velocemente di quanto $n^{\frac{1}{2}}$ non tenda a infinito
3) forse esistono metodi veloci per studiare l'andamento della successione, io non li conosco, quindi risolvo l'eq alle differenze. puoi riscrivere come $a_{n+2}=-\frac{3}{2}a_{n+1}+a_n$, scrivi a_n=k^n e sostituisci, trovi $k^2=-\frac{3}{2}k+k$ dopo aver semplificato k^n. Risolvi l'equazione e trovi $k=-2$ e $k=\frac{1}{2}$, quindi hai un termine oscillante dato da $(-2)^n$ che diverge verso più e meno infinito alternatamente e quindi il limite non esiste.
4) hanno ragione sotto quando dicono che converge, ma non so bene come si dimostri
5) la dimostrazione richiede diverse pagine di conti complicati, euristicamente noti che $(1+x)^n=\sum_k ^n BIN(n,k) x^n$, con BIN indico il binomiale. Adesso puoi far vedere che il tutto converge perché hai dei fattoriali e puoi far vedere che il termine n+1 è minore di n definitivamente. Per far vedere che converge a un numero conpreso tra 2 e 3 mostri che per n=1 è 2, quindi sicuramente è magiore, per il minore di 3 metti che la serie è maggiorata da $1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2}^n=3$, quindi è minore di 3. Infine per dimostrare che il limite con x continuo che va a infinito è proprio e usi
$$(1+x^{-1})^x=e^{x \log (1+x^{-1})}=e^{\frac{\log(1+x^{-1})}{x^{-1}}}$$
ora cambio $x^{-1}=t$, ora $t$ tende a $0$ in ogni caso, così usi il limite notevole per $\frac{\log(1+t)}{t}$ che fa $1$ quando $t$ va $0$
6)
a) faccio il cambio di variabili $t=1-x$ cosi ho il limite per t che tende a 0+ di
$$\frac{sin(\pi -\pi t)+\pi sin^a(t)}{t^{3a}}=\frac{\pi (1+\pi t)^{a-1}}{t^{3a-1}}$$
poi discuti al variare di a quando metti t=0
b) qui puoi usare il fatto che limite è compreso tra 0 e infinito, è facile trovare maggioranti e minoranti che lo mostrano, quindi il limite è compreso lì in mezzo e oscilla. quindi non esiste
c) molto lungo e laborioso, per risolverlo devi usare i teoremi di de l'Hopital, e fare alemo la derivata seconda di numeratore e denominatore, il risultato è $-\frac{1}{2}$
Gli altri non complicati, il 8 per esempio è la definizione dell'integrale di Riemann e si dimostra che il limite esiste e non dipende dalla partizione peché la funzione è continua, quindi integrabile nel dominio di continuità. Per definizione di integrale allora la serie converge e il risultato non dipende dalla partzione. Per il 7 e 10 non ho idee.
a) usi il fatto che \(\sin(2 \pi n)=0\) per ogni n intero, quindi il limite è \(0\)
b) moltiplichi e dividi per $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ottieni
$$(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos n+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin n}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n=(\frac{sin{n+\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n\leq (\frac{2}{\sqrt{6}})^n$$
L'ultimo elemento maggiora il tuo limite e nel limite di n che va a infinito trovi che tende a $0$ e quindi trovi che il limite va a 0
Oppure osservi che si può riscrivere come
$$(\cos n+\sin n)^n \sqrt{3}^{-n}$$
la parte in seno e coseno è limitata mentre la parte in $\sqrt{3}^{-n}$ tende a 0
c)
Non so bene come trattare il limite superiore, comunque penso che basti prendere gli n pari, per questi valori hai che la successione è massima, cioè stai considerando la successione degli estremi superiori penso
quindi il tutto diventa
$$\frac{1-sin((2n)\frac{\pi}{2})}{2+cos(\pi(2n))}=\frac{1}{2}$$
se consideri un n dispari invece il limite è $0$
2) puoi usare l'approsimazione di stirling per il fattoriale
$$\frac{n^{n}}{n!}=\frac{n^{n}}{n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}=\frac{1}{e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}$$
che tende a infinito poiche $e^{-n}$ tende a 0 più velocemente di quanto $n^{\frac{1}{2}}$ non tenda a infinito
3) forse esistono metodi veloci per studiare l'andamento della successione, io non li conosco, quindi risolvo l'eq alle differenze. puoi riscrivere come $a_{n+2}=-\frac{3}{2}a_{n+1}+a_n$, scrivi a_n=k^n e sostituisci, trovi $k^2=-\frac{3}{2}k+k$ dopo aver semplificato k^n. Risolvi l'equazione e trovi $k=-2$ e $k=\frac{1}{2}$, quindi hai un termine oscillante dato da $(-2)^n$ che diverge verso più e meno infinito alternatamente e quindi il limite non esiste.
4) hanno ragione sotto quando dicono che converge, ma non so bene come si dimostri
5) la dimostrazione richiede diverse pagine di conti complicati, euristicamente noti che $(1+x)^n=\sum_k ^n BIN(n,k) x^n$, con BIN indico il binomiale. Adesso puoi far vedere che il tutto converge perché hai dei fattoriali e puoi far vedere che il termine n+1 è minore di n definitivamente. Per far vedere che converge a un numero conpreso tra 2 e 3 mostri che per n=1 è 2, quindi sicuramente è magiore, per il minore di 3 metti che la serie è maggiorata da $1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2}^n=3$, quindi è minore di 3. Infine per dimostrare che il limite con x continuo che va a infinito è proprio e usi
$$(1+x^{-1})^x=e^{x \log (1+x^{-1})}=e^{\frac{\log(1+x^{-1})}{x^{-1}}}$$
ora cambio $x^{-1}=t$, ora $t$ tende a $0$ in ogni caso, così usi il limite notevole per $\frac{\log(1+t)}{t}$ che fa $1$ quando $t$ va $0$
6)
a) faccio il cambio di variabili $t=1-x$ cosi ho il limite per t che tende a 0+ di
$$\frac{sin(\pi -\pi t)+\pi sin^a(t)}{t^{3a}}=\frac{\pi (1+\pi t)^{a-1}}{t^{3a-1}}$$
poi discuti al variare di a quando metti t=0
b) qui puoi usare il fatto che limite è compreso tra 0 e infinito, è facile trovare maggioranti e minoranti che lo mostrano, quindi il limite è compreso lì in mezzo e oscilla. quindi non esiste
c) molto lungo e laborioso, per risolverlo devi usare i teoremi di de l'Hopital, e fare alemo la derivata seconda di numeratore e denominatore, il risultato è $-\frac{1}{2}$
Gli altri non complicati, il 8 per esempio è la definizione dell'integrale di Riemann e si dimostra che il limite esiste e non dipende dalla partizione peché la funzione è continua, quindi integrabile nel dominio di continuità. Per definizione di integrale allora la serie converge e il risultato non dipende dalla partzione. Per il 7 e 10 non ho idee.
Esercizio 9:
a)
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x log(1+xy)}{x^2+sin^2x+2y^2} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho log(1+\rho^2cos(\theta) sin(\theta))}{\rho^2cos^2(\theta) + sin^2(\rho cos(\theta))+2\rho^2\sin^2(\theta)} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3 cos(\theta) sin(\theta)}{\rho^2 cos^2(\theta)+ \rho^2 cos^2(\theta) + 2\rho^2sin^2(\theta)} = lim_{\rho \to 0} \rho/2 cos(\theta) sin(\theta) =0$
b)
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2+2y^(1/3)sin^2x}{x^2+y^2} \cdot e^{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3cos(\theta) sin^2(\theta) + 2\rho^(7/3) sin^(1/3)(\theta) cos^2(\theta)}{\rho^2} \cdot e^{cos^2(\theta)-sin^2(\theta)} =0$
a)
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x log(1+xy)}{x^2+sin^2x+2y^2} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho log(1+\rho^2cos(\theta) sin(\theta))}{\rho^2cos^2(\theta) + sin^2(\rho cos(\theta))+2\rho^2\sin^2(\theta)} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3 cos(\theta) sin(\theta)}{\rho^2 cos^2(\theta)+ \rho^2 cos^2(\theta) + 2\rho^2sin^2(\theta)} = lim_{\rho \to 0} \rho/2 cos(\theta) sin(\theta) =0$
b)
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2+2y^(1/3)sin^2x}{x^2+y^2} \cdot e^{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}} = lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3cos(\theta) sin^2(\theta) + 2\rho^(7/3) sin^(1/3)(\theta) cos^2(\theta)}{\rho^2} \cdot e^{cos^2(\theta)-sin^2(\theta)} =0$
@OP
Se ho ben capito la situazione credo che,pur apprezzando molto il coraggioso tentativo,ha ragione chi ti dice che devi darti il tempo di cui hai bisogno per digerire i tanti input,di conoscenza ed approccio,che necessiti:
ciò detto,per il IV° quesito,avrei innanzitutto bisogno di sapere se conosci lo sviluppo in serie del numero di Nepero ed il limite trigonometrico fondamentale,che magari ha un senso parlare della convergenza a $2pi$ di quella successione..
Saluti dal web.
Se ho ben capito la situazione credo che,pur apprezzando molto il coraggioso tentativo,ha ragione chi ti dice che devi darti il tempo di cui hai bisogno per digerire i tanti input,di conoscenza ed approccio,che necessiti:
ciò detto,per il IV° quesito,avrei innanzitutto bisogno di sapere se conosci lo sviluppo in serie del numero di Nepero ed il limite trigonometrico fondamentale,che magari ha un senso parlare della convergenza a $2pi$ di quella successione..
Saluti dal web.
Grazie mille ad entrambi dell'aiuto!!! Mi state salvando. Grazie davvero!!!
Figurati:
ma non credo basti,a chi t'ha assegnato l'esercizio,che tu scriva quel valore dopo l'uguale,ed ecco perchè ti chiedevo di quei prerequisiti..
Saluti dal web.
ma non credo basti,a chi t'ha assegnato l'esercizio,che tu scriva quel valore dopo l'uguale,ed ecco perchè ti chiedevo di quei prerequisiti..
Saluti dal web.
Sì sì, ma queste cose le conosco. Le sto studiando giorno e notte. Il problema è che ancora devo abituarmi a questo tipo di esercizi. Quindi, pur sapendo cosa sono, quando mi trovo di fronte a certi esercizi vado in confusione totale perché ancora non sono abituato a farli e un po' la paura di scrivere sciocchezze, un po' l'avere tante cose in testa e poca pratica... beh, vado nel caos più totale. Ovviamente ai docenti può importare poco che io ho appena iniziato questo percorso da poco e prima ho fatto tutt'altro. Nessuno mi verrà in aiuto e ovviamente cercherò di fare da solo. Però ci hanno messo di fronte all'ultimatum di consegnare questi esercizi risolti entro sabato prossimo e io non sapevo come fare. Poi da qui a gennaio il tempo per mettermici con calma, fare tanti esercizi e entrare nel meccanismo di questa tipologia di esercizi ci sarà. Magari vedrò anche di farmi seguire da qualcuno che sa bene queste cose. Però ora così, con questo ultimatum, io che sono ancora "alle prime armi" in questo ramo... sto andando nel panico più totale.
OK,è tutto chiaro:
ma come pensi di sfruttare,ai tuoi fini,il fatto che $e=1+1/("2!")+..+1/"(n-1)!"+..$?
Saluti dal web.
ma come pensi di sfruttare,ai tuoi fini,il fatto che $e=1+1/("2!")+..+1/"(n-1)!"+..$?
Saluti dal web.
In riferimento a quale esercizio?
Comunque è questo il punto, al momento la teoria la so, ma metterla mi perdo. Ci possono essere differenti metodi di risoluzione, ma io sono ancora in un'ottica elementare e quindi a certe cose non ci arrivo. Ne sono consapevole.
Comunque è questo il punto, al momento la teoria la so, ma metterla mi perdo. Ci possono essere differenti metodi di risoluzione, ma io sono ancora in un'ottica elementare e quindi a certe cose non ci arrivo. Ne sono consapevole.
"Werner":
1)
b) moltiplichi e dividi per $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ottieni
$$(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos n+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin n}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n=(\frac{sin{n+\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{2}})^n\leq (\frac{2}{\sqrt{6}})^n$$
L'ultimo elemento maggiora il tuo limite e nel limite di n che va a infinito trovi che tende a $0$ e quindi trovi che il limite va a 0
Oppure osservi che si può riscrivere come
$$(\cos n+\sin n)^n \sqrt{3}^{-n}$$
la parte in seno e coseno è limitata mentre la parte in $\sqrt{3}^{-n}$ tende a 0
se consideri un n dispari invece il limite è $0$
Perché $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?
Usi il fatto che $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$, e $\sin(\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ah, giusto... che sciocco. Grazie!!!
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