Esercizi sui limiti

[IlMatematico91]

Scusate, devo assolutamente consegnare questi esercizi risolti entro settimana prossima, ma non mi vengono. C'è qualcuno che gentilmente potrebbe darmi una mano? Se non tutti almeno qualcuno... Se avete tempo e la possibilità di aiutarmi, per favore... datemi una manina, vi supplico...

[IlMatematico91]

Quindi l' 1-B sarebbe così?

[Werner1]

SI, ma qual è la maggiorazioni che fai, e perché tende a 0?

[IlMatematico91]

Applico il Teorema dei carabinieri

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[Werner1]

esatto, se servono altri chiarimenti chiedi

[IlMatematico91]

Nell'esercizio 4 so che vi è convergenza, ma non so proprio come procedere. Ho guardato in tutti i miei appunti e dispense varie, ma non trovo un modo per procedere.

[IlMatematico91]

"Werner":esatto, se servono altri chiarimenti chiedi

Ti ho lasciato un messaggio privato.

[Werner1]

Alora ho trovato un metodo on line e uno fatto ma de che dovrebbe funzionare ma vorrei conferme.
metodo online
considero $e=\sum_{k=0} \frac{1}{k!}$, allora nel limite puoi scrivere $n \sin(2 \pi n! \sum_{k=0} \frac{1}{k!})$ che diventa $n \sin(2 \pi \sum_{k=0} \frac{n!}{k!})$. Adesso
$$n \sin(2 \pi (\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}+\sum_{k=n+1} \frac{n!}{k!}))=n \sin(2 \pi (m_n+\sum_{k'=k-n=1} \frac{1}{(k'+n)!}))$$
$m_n$ è un intero quindi $2 \pi m_n$ non da contributo, l'altro si può scrivere come
$$\sum_{k'=k-n=1} \frac{n!}{(k'+n)!}=\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!} ...=\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}+... \leq \sum_k'=1 \frac{1}{n^{k'}} =\frac{1}{n-1}$$
il tutto tende a 0 quando il limite di n va a infinito quindi ho
$$n\sin(\frac{2 \pi}{1-n})\rightarrow n\frac{2 \pi }{1-n}\rightarrow 2 \pi$$

mia idea
uso $e=\lim (1+\frac{1}{n})^n$ quindi ho
$$n\sin(2 \pi(1+\frac{1}{n})^n n!)= n\sin(2 \pi(1+\frac{1}{n})^n n(n-1)(n-2)...(n-n+2)1)\leq n\sin(2 \pi(1+\frac{1}{n})^n n^{n-1})$$
$$n\sin(2 \pi(1+\frac{1}{n})^n n^{n-1})=n\sin(2 \pi(1+\frac{1}{n})^n n^n \frac{1}{n})=n\sin(2 \pi(1+n)^n \frac{1}{n})$$
adesso $(1+n)^n $ è un intero mentre $\frac{1}{n}$ tende a zero, quindi con ragionamento analogo al caso precedente trovo
$$n\sin(2 \pi(1+n)^n \frac{1}{n})=n\sin(2 \pi \frac{1}{n})\rightarrow n 2 \pi\frac{1}{n}=2 \pi$$

[IlMatematico91]

Ecco! È il metodo che avevo trovato anche io, ma non ero certo andasse bene.