Esercizi di algebra
Ciao a tutti avrei qualche domanda su alcuni esercizi di algebra:
1)Se devo scrivere questo polinomio
come polinomio nei polinomi simmetrici elementari
c'è un metodo per calcolarlo oppure devo andare a tentativi?
2)Come si calcola la cardinlità di questi insieme?
Z/(4) di questo devo trovare il numero degli elementi invertibili
3) cos'è il risultante di due polinomi e come si calcola?
4)Se ho
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Ok alcuni credo di averli capiti ma non sono sicura se il procedimento è giusto quindi potreste vedere se ho fatto bene?
4) poichè
qusto per ogni radice quindi
2)Z/(4)
innanzitutto noto che 4 in Z si fattorizza così
quindi Z/(4) lo posso riscrivere come Z/(1-
Ora però qui mi blocco: come faccio a determinare il numero di elementi invertibili?
Ora questo anello è isomorfo a
che è isomorfo a cosa? Qui non so come andare avanti perchè ci sono le tre incognite
che è isomorfo a
1)Se devo scrivere questo polinomio
[math](X^{2}+1)(Y^{2}+1)(Z^{2}+1)[/math]
come polinomio nei polinomi simmetrici elementari
[math]s_{1},s_{2},s_{3}[/math]
c'è un metodo per calcolarlo oppure devo andare a tentativi?
2)Come si calcola la cardinlità di questi insieme?
[math]Z_{3}[X,Y,Z]/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3},X_Z)[/math]
Z/(4) di questo devo trovare il numero degli elementi invertibili
[math]Z[\sqrt{-2}]/(3)[/math]
di questo il numero degli lementi invertibili3) cos'è il risultante di due polinomi e come si calcola?
4)Se ho
[math]a_{1},.....,a_{7}[/math]
radici del polinomio [math]x^{7}+x+2[/math]
cioè tali che [math]x^{7}+x+2=(x-a_{1})*(x-a_{2})*****(x-a_{7})[/math]
come faccio a determianre [math]a_{1}+,.....+a_{7}[/math]
?Aggiunto 2 giorni più tardi:
Ok alcuni credo di averli capiti ma non sono sicura se il procedimento è giusto quindi potreste vedere se ho fatto bene?
4) poichè
[math]a_{1},....,a_{7}[/math]
sono radici del polinomio [math] x^{2}+x+2[/math]
allora [math]a_{1}=-a_{1}^{2}-2[/math]
qusto per ogni radice quindi
[math] a_{1}+...+a_{7}=-a_{1}^{2}-2-a_{2}^{2}-2-.....-a_{7}^{2}-2=-14-a_{1}^{2}-..-a_{7}^{2}[/math]
2)Z/(4)
innanzitutto noto che 4 in Z si fattorizza così
[math]4=(1-i^{2})^{2}[/math]
quindi Z/(4) lo posso riscrivere come Z/(1-
[math]i^{2}[/math]
)xZ/(1-[math]i^{2}[/math]
)Ora però qui mi blocco: come faccio a determinare il numero di elementi invertibili?
[math]Z_{3}[X,Y,Z]/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3},X-Z)[/math]
Ora questo anello è isomorfo a
[math]Z_{3}[X][Y][Z]/(X-Z)/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3})[/math]
che è isomorfo a cosa? Qui non so come andare avanti perchè ci sono le tre incognite
[math]Z[\sqrt{-2}]/(3)[/math]
è cisomorfo a [math]Z[X]/(3,X^{2}+2)[/math]
che è isomorfo a [math]Z_{3}[X]/(X^{2}+2)[/math]
che è isomorfo a
[math]Z_{3}[X]/(X^{2}-1)=Z_{3}[X]/(X+1)(X-1)[/math]
quindi ha in tutto 9 elementi invertibili giusto?
Risposte
Ciao kiara, scusa sono stato assente per qualche giorno. Hai ancora bisogno? Se si, ti rispondo con calma domani o lunedì.
Si avrei ancora bisogno. Grazie!
Allora, cominciamo dal primo: il metodo generale in questi casi è quello di scriversi il polinomio in maniera corretta, ordinandolo per potenze decrescenti, dopodiché andare a sostituire a "ritroso" i vari polinomi simmetrici, partendo da quelli di ordine più alto. Ora, il polinomio in questione si scrive come
Poiché
Ora, osserva che
da cui
essendo
e quindi
[math]X^2 Y^2 Z^2+X^2 Y^2+X^2 Z^2+Y^2 Z^2+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]
Poiché
[math]s_3=XYZ[/math]
possiamo scrivere[math]s_3^2+X^2 Y^2+X^2 Z^2+Y^2 Z^2+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]
Ora, osserva che
[math]s_2^2=(XY+XZ+YZ)^2=\\ X^2Y^2+X^2Z^2+Y^2 Z^2+2(X^2YZ+XY^2Z+XYZ^2)[/math]
da cui
[math]s_3^2+s_2^2-2(X^2YZ+XY^2Z+XYZ^2)+X^2+Y^2+Z^2+1=\\
s_3^2+s_2^2-2XYZ(X+Y+Z)+X^2+Y^2+Z^2+1=\\
s_3^2+s_2^2-2s_3 s_1+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]
s_3^2+s_2^2-2XYZ(X+Y+Z)+X^2+Y^2+Z^2+1=\\
s_3^2+s_2^2-2s_3 s_1+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]
essendo
[math]s_1=X+Y+Z[/math]
. Inoltre[math]s_1^2=X^2+Y^2+Z^2+2(XY+XZ+YZ)=X^2+Y^2+Z^2+2s_2[/math]
e quindi
[math]s_3^2+s_2^2-2s_3 s_1+s_1^2-2s_2+1[/math]
Ok questo credo di averlo capito!!!
Passo al terzo e al quarto perché per le domande al punto due ci sono metodi differenti da poter applicare, quindi voglio prima svolgermi con calma le cose per evitare di scriverti risposte incomplete.
Punto 3) Per definizione, dati due polinomi
il risultante tra i polinomi P e Q è definito come
Ora capiamo bene cosa vuol dire: hai due polinomi di gradi
Ad esempio se
allora
Se invece
si ha
Osserva che
1) il numero di fattori "differenza" deve essere sempre uguale a
2) il risultante è nullo se e solo se i polinomi hanno almeno una radice in comune.
Punto 3) Per definizione, dati due polinomi
[math]P(x)=a_n x^n+....,\qquad Q(x)=b_m x^m+...[/math]
il risultante tra i polinomi P e Q è definito come
[math]a_n^m\cdot b_m^n\cdot\prod_{\alpha,\beta\ :\ P(\alpha)=0,\ Q(\beta)=0} (\alpha-\beta)[/math]
Ora capiamo bene cosa vuol dire: hai due polinomi di gradi
[math]n,m[/math]
rispettivamente e di coefficienti al termine di grado massimo [math]a_n,\ b_m[/math]
. Il risultante è una quantità appartenente alla chiusura algebrica del campo su cui definisci i coefficienti dei polinomi che si ottiene moltiplicando il fattore esterno [math]a_n^m\cdot b_m^n[/math]
per la differenza di tutte le radici, nella chiusura algebrica del campo (o nel campo di spezzamento, se preferisci), dei due polinomi.Ad esempio se
[math]P(x)=3x^2-12,\ Q(x)=4x^3-x[/math]
poiché[math]n=2,\ a_n=3,\ \alpha=\pm 2[/math]
[math]m=3,\ b_n=4,\ \beta=0,\ \pm 1/2[/math]
allora
[math]r(P,Q)=3^3\cdot 4^2\cdot(2-0)(-2-0)(2-1/2)(-2-1/2)(2+1/2)(-2+1/2)[/math]
Se invece
[math]P(x)=x^2+1,\ Q(x)=x^3-x^2[/math]
allora, essendo[math]n=2,\ a_n=1,\ \alpha=\pm i[/math]
[math]m=3,\ b_m=1,\ \beta=0,\ 0\, 1[/math]
si ha
[math]r(P,Q)=(i-0)(i-0)(-i-0)(-i-0)(i-1)(-i-1)[/math]
Osserva che
1) il numero di fattori "differenza" deve essere sempre uguale a
[math]n\cdot m[/math]
e pertanto le radici dei polinomi vanno contate con la loro molteplicità;2) il risultante è nullo se e solo se i polinomi hanno almeno una radice in comune.
Ah ok adesso ho capito!!! Avevo provato a cercarlo ma trovavo spiegazioni molto contorte invece così è molto chiaro!! Grazie!!
Punto 4) Vediamo un esempio semplice, un polinomio di terzo grado. Allora, facendo i conti otteniamo:
Ora, questo tipo di formula si può generalizzare a qualsiasi grado usando i polinomi simmetrici: se indichi con
cioè il k-imo polinomio simmetrico nelle n incognite
Ne segue che essendo
la somma delle radici di un polinomio è pari al coefficiente di grado
[math](x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc[/math]
Ora, questo tipo di formula si può generalizzare a qualsiasi grado usando i polinomi simmetrici: se indichi con
[math]s_k=s_k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)[/math]
cioè il k-imo polinomio simmetrico nelle n incognite
[math]\alpha_i[/math]
che sono le radici del polinomio, si ha[math]\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} s_k x^k[/math]
Ne segue che essendo
[math]s_1=\alpha_1+\ldots+\alpha_n[/math]
la somma delle radici di un polinomio è pari al coefficiente di grado
[math]n-1[/math]
del polinomio stesso moltiplicato per [math](-1)^{n-1}[/math]
. Nel tuo caso tale somma vale zero (non c'è termine di sesto grado).
Ok questo lo capito: e se invece di
[math]a_{1}+...+a_{7}[/math]
dovevo calcolare [math]a_{1}^{7}+....+a_{7}^{7}[/math]
in questo caso come doveva fare?
Bè, in questo caso puoi sfruttare l'equazione: come dicevi prima, per ogni radice sappiamo che
Ne segue che
In soldoni, qui non c'erano formule note da applicare, quanto piuttosto un po' di ragionamento.
[math]\alpha_i^7+\alpha_i+2=0[/math]
Ne segue che
[math]\sum_{i=1}^7 \alpha_i^7=\sum_{i=1}^7(-\alpha_i-2)=-\sum_{i=1}^7\alpha_i-14=.14[/math]
In soldoni, qui non c'erano formule note da applicare, quanto piuttosto un po' di ragionamento.
OK Grazie!!