Esercizi analisi!!

[M&C88]

Ciao a tutti!!Avrei bisogno della risoluzione di alcuni esercizi:

1)lim perx che tende a zero più di 1/(x^2 + x^3) - (2/LOG(1 - 2·x))^2

2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5) Dire per quali valori di k la serie converge

3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso f(x)=e^3cos(2x) (dove e è la base dei logaritmi naturali)

4)Equazione differenziale:y(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3) con annesso problema di Cauchy y(0)=1/log2 specificando l'intervallo massimale di esistenza

Grazie per la risposte!!!

[gugo82]

"M&C88":
1) $lim_(x to 0^+) 1/(x^2 + x^3) - (2/log(1 - 2x))^2$

Il limite è nella forma indeterminata $oo-oo$ e si può mettere nella foma indeterminata $0/0$ eseguendo la differenza tra le due frazioni:

(*) $quad lim_(xto 0^+) (log^2(1-2x)-4(x^2+x^3))/((x^2+x^3)*log^2(1-2x))$;

ora, ricordando che lo sviluppo di Taylor del second'ordine $log(1+y)=y-y^2/2+o(y^3)$ implica $log^2(1+y)=(y-y^2/2+o(y^3))^2=y^2-y^3+o(y^4)$, sostituendo $y=-2x$ trovi facilmente:

$log^2(1-2x)=4x^2+8x^3+o(x^4)$

e puoi rimpiazzare i logaritmi nel limite (*) con lo sviluppo appena determinato:

$lim_(xto 0^+) (log^2(1-2x)-4(x^2+x^3))/((x^2+x^3)*log^2(1-2x))=lim_(xto 0^+) (4x^4+8x^3+o(x^4)-4(x^2+x^3))/((x^2+x^3)*log^2(1-2x))=lim_(xto 0^+) (4x^3+o(x^4))/((x^2+x^3)*(4x^2+8x^3+o(x^4)))=+oo$

perchè sia numeratore che denominatore sono positivi in un intorno destro di $0$ e poichè lo zero del numeratore è uno zero d'ordine tre, mentre il denominatore ha uno zero d'ordine quattro.

Spero di aver soddisfatto la tua sete di conoscenze.

[M&C88]

Ma xke lo sviluppo di Taylor va applicato fino al secondo ordine?Non basta anche fino al primo?

[gugo82]

"M&C88":Ma xke lo sviluppo di Taylor va applicato fino al secondo ordine?Non basta anche fino al primo?

Fai i conti e risponditi da solo.

[Sk_Anonymous]

$lim_(x->0^+)1/(x^2+x^3)-(2/ln(1-2x))^2=lim_(x->0^+)1/(x^2+x^3)-4/(ln^2(1-2x))=lim_(x->0^+)(ln^2(1-2x)-4x^2-4x^3)/((x^2+x^3)ln^2(1-2x))=
$=lim_(x->0^+)((-2x-1/2(-2x)^2+o(x^2))^2-4x^2-4x^3)/((x^2+x^3)(-2x)^2(1+o(1)))=lim_(x->0^+)(4x^2+8x^3+o(x^3)-4x^2-4x^3)/(4x^4+o(x^4))=
$=lim_(x->0^+)(4x^3(1+o(1)))/(4x^4(1+o(1)))=+oo

[gugo82]

"NOKKIAN80":$lim_(x->0^+)1/(x^2+x^3)-(2/ln(1-2x))^2=lim_(x->0^+)1/(x^2+x^3)-4/(ln^2(1-2x))=lim_(x->0^+)(ln^2(1-2x)-4x^2-4x^3)/((x^2+x^3)ln^2(1-2x))=
$=lim_(x->0^+)((-2x-1/2(-2x)^2+o(x^2))^2-4x^2-4x^3)/((x^2+x^3)(-2x)^2(1+o(1)))=lim_(x->0^+)(4x^2+8x^3+o(x^3)-4x^2-4x^3)/(4x^4+o(x^4))=
$=lim_(x->0^+)(4x^3(1+o(1)))/(4x^4(1+o(1)))=+oo

Lo stesso procedimento che ho seguito nel mio post precedente.
Mi conforta sapere che non ho sbagliato!