Esercizi analisi!!
Ciao a tutti!!Avrei bisogno della risoluzione di alcuni esercizi:
1)lim perx che tende a zero più di 1/(x^2 + x^3) - (2/LOG(1 - 2·x))^2
2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5) Dire per quali valori di k la serie converge
3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso f(x)=e^3cos(2x) (dove e è la base dei logaritmi naturali)
4)Equazione differenziale:y(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3) con annesso problema di Cauchy y(0)=1/log2 specificando l'intervallo massimale di esistenza
Grazie per la risposte!!!
1)lim perx che tende a zero più di 1/(x^2 + x^3) - (2/LOG(1 - 2·x))^2
2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5) Dire per quali valori di k la serie converge
3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso f(x)=e^3cos(2x) (dove e è la base dei logaritmi naturali)
4)Equazione differenziale:y(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3) con annesso problema di Cauchy y(0)=1/log2 specificando l'intervallo massimale di esistenza
Grazie per la risposte!!!
Risposte
potresti scrivere in modo leggibile con le formule?--- 
Nn saprei cm fare 
"M&C88":
Nn saprei cm fare
Mettile semplicemente tra due simboli di dollaro.
$\frac{1}{x^2 + x^3} - (\frac{2}{\log(1 - 2x)})^2$
$sin\frac{n^{2k+4}}{n^{2k+5}}$
$f(x)=e^{3\cos(2x)}$
$y(x)=\frac{1}{3} e^{\frac{1}{y}}y^{2} \cos \frac{x}{3}$
$y(0)=\frac{1}{\log 2}$
$sin\frac{n^{2k+4}}{n^{2k+5}}$
$f(x)=e^{3\cos(2x)}$
$y(x)=\frac{1}{3} e^{\frac{1}{y}}y^{2} \cos \frac{x}{3}$
$y(0)=\frac{1}{\log 2}$
Sn quelli ke ha gentilmente scritto Luc@s solo che nel primo al secondo membro è tutto elevato al quadrato(anke il 2) e la funzione è è tutto elevato alla 3cos(2x) Grazie ancora
Scusate ma sarebbero abbastanza urgenti...Rispondete al più presto se potete Grazie ragazzi
Che vuol dire urgenti?
Cosa non hai capito? Dove vuoi essere aiutato?
Cosa non hai capito? Dove vuoi essere aiutato?
Nella risoluzione per esempio il limite a me viene meno infinito ma con derive invece è più infinito poi sarei interessato ai valori per i quali la serie converge.Cioè se è possibile vorrei una risoluzione!
"M&C88":
2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5). Dire per quali valori di k la serie converge;
"Luc@s":
$sin\frac{n^{2k+4}}{n^{2k+5}}$
Scusa M&C88, ma se la serie ha come addendi quelli che ha scritto Luc@s, allora basta semplificare nell'argomento del seno per ottenere $sin(1/n)$; la serie $\sum sin(1/n)$ è definitivamente minorata da un multiplo della serie armonica (infatti, essendo $lim_(n to +oo)(sin(1/n))/(1/n)=1$, in corrispondenza di $1/2$ esiste un $nu in NN$ tale che per $n>nu$ risulti $1/2<(sin(1/n))/(1/n)$, ossia $1/(2n)
D'altra parte, io credo che l'addendo della tua serie fosse non quello riportato da Luc@s, bensì $(sin n^(2k+4))/(n^(2k+5))$.
In questo caso la successione degli addendi è infinitesima all'infinito d'ordine superiore ad ogni $p>0$ minore di $2k+5$: infatti scelto $pge0$ trovi:
$lim_(n to +oo)n^p*(|sin n^(2k+4)|)/(n^(2k+5))=\{(0, ", se " p<2k+5),("non esiste", ", se " pge2k+5):}$.
Quindi, ad occhio e croce, per avere convergenza assoluta della serie basta imporre che $2k+5$ sia maggiore di $1$ e da questa relazione ricavare $k$:
$2k+5>1 quad => quad k> -2$.
Per $k=-2$ la serie non converge, e lo stesso vale per i $k<-2$.
Ovviamente salvo grossolani errori di valutazione!
Grazie 
Gli altri invece?
Gli altri invece?
"M&C88":
4)Equazione differenziale: $y'(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3)$ con annesso problema di Cauchy $y(0)=1/(log2)$, specificando l'intervallo massimale di esistenza
L'equazione è del primo ordine, omogenea, non lineare.
Il problema ha senso per le terne $(x,y,y') in RRtimes (RR-{0})times RR$ (infatti $y$ non può assumere il valore $0$, altrimenti il fattore $e^(1/y)$ perde di significato), quindi ogni soluzione massimale del problema di Cauchy:
$\{ (y'(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3)),(y(0)=1/(log2)) :}$
ha da essere definita e di classe $C^1$ in qualche intervallo $Isubseteq RR$ contenente $0$ ed ivi positiva (poichè, essendo $1/(log2)>0$, se $y(x)$ assumesse in $I$ un valore negativo esisterebbe un punto $xi in I$ tale che $y(xi)=0$, il che non è possibile).
Ora, l'equazione differenziale è a variabili separabili e quindi il problema di Cauchy proposto si risolve integrando i due membri dell'equazione dopo aver "separato le varibili":
$\{ ((e^(-1/y))/(y^2)" d"y = 1/3 cos(x/3)" d"x),(y(0)=1/(log2)) :}$
$\int_(1/(log2))^y e^(-1/eta)*1/(eta^2)" d"eta = \int_0^x 1/3 cos(xi/3)" d"xi quad$ (le variabili d'integrazione le ho chiamate $xi,eta$ per non confonderle con gli estremi variabili)
$\int_(1/(log2))^y e^(-1/eta)" d"(-1/eta) = [sin(xi/3)]_0^x$
$[e^(-1/eta)]_(1/log2)^y=sin(x/3)$
$e^(-1/y)-1/2=sin(x/3)$
$e^(1/y)=1/(sin(x/3)+1/2)$
$1/y=log(1/(sin(x/3)+1/2))=-log(sin(x/3)+1/2)$
$y=-1/(log(sin(x/3)+1/2))$.
L'insieme di definizione di questo integrale si ricava imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo e che la funzione nel suo complesso assuma segno positivo (per quanto detto all'inizio): queste due condizioni si traducono nel sistema di disequazioni:
$\{(sin(x/3)+1/2>0),(sin(x/3)+1/2<1):}$
da cui con qualche passaggio ricavi:
$x in ]-pi/2,pi/2[$.
Tirando le somme, la soluzione massimale del tuo problema di Cauchy è: $y(x)=-1/(log(sin(x/3)+1/2))$ con $x in ]-pi/2,pi/2[$.
Ok grazie 6 stato molto chiaro!!! 
Il limite e i flessi d quella funzione?
Il limite e i flessi d quella funzione?
"M&C88":
3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso $f(x)=e^(3cos(2x))$ (dove e è la base dei logaritmi naturali)
La $f$ è ottenuta tramite composizione di applicazioni di classe $C^oo$ in $RR$, pertanto essa è dotata di derivate d'ogni ordine continue in $RR$ ossia $f in C^oo(RR)$.
Per determinare le ordinate dei punti di flesso del grafico di $f$, calcoliamo la derivata seconda: abbiamo:
$f'(x)=-6sin(2x)*e^(3cos(2x))$
$f''(x)=-6[2cos(2x)-6sin^2(2x)]*e^(3cos(2x))=-12[cos(2x)-3sin^2(2x)]*e^(3cos(2x))$
quindi per calcolare le ascisse dei punti di flesso del grafico di $f$ occorre e basta conoscere le soluzioni dell'equazione $f''(x)=0$ la quale è equivalente a:
$cos(2x)-3sin^2(2x)=0$.
Questa è una tipica equazione goniometrica da risolvere col "metodo grafico": introdotte le due variabili ausiliarie $X=cos(2x), Y=sin(2x)$, le soluzioni della precedente equazione sono tutte e sole le soluzioni del sistema:
(*) $quad \{(X-3Y^2=0),(X^2+Y^2=1):}$;
eliminando $Y^2$ dalle due equazioni troviamo:
$X^2+1/3X-1=0$
onde $X_(1,2)=(-1/3 pm sqrt(1/9+4))/2=-1/6(1 pm sqrt(37))$; d'altra parte si vede che l'unica soluzione accettabile delle due trovate è quella che si ottiene in corrispondenza del segno $-$ (infatti dalla prima equazione $X=3Y^2$ segue facilmente che $Xge 0$) ossia $X_1=1/6(sqrt(37)-1)$.
Per terminare l'esercizio non bisogna né calcolare $Y$ né determinare la $x$ dalla relazione $cos(2x)=X_1$. Infatti con l'uso della variabile ausiliaria $X$ la funzione $f$ si trasforma in $f(X)=e^(3X)$ e per determinare il valore delle ordinate dei punti di flesso del grafico di $f$ basta conoscere le soluzioni del sistema (*) rispetto alla sola variabile $X$: ne consegue che il valore che $f$ assume in corrispondenza dei punti di flesso del suo grafico è:
$f(X_1)=e^(3X_1)=e^(1/2(sqrt(37)-1)) ~ 12,7$.
Quindi il valore -1-sqrt37/2 nn va preso vero?Il limite l'hai risolto poi?
Novità sul limite?
Novità sul limite?!
Novità sul limite?!
Per favore il limite sarebbe urgente!!!Grazie
Prova a postare la tua soluzione del limite e poi la si corregge insieme.
Ciò ha due vantaggi: imparerai a scrivere in mathml e capirari meglio i tuoi errori.
Ciò ha due vantaggi: imparerai a scrivere in mathml e capirari meglio i tuoi errori.
Allora io uso lo sviluppo di Taylor per log(1-2x) al primo ordine e quindi diventa -2x.A questo punto al secondo membro ho (2/-2x)^2 e qundi diventa 1/x^2.Ora avendo 1/x^2+x^3-1/x^2 faccio il m.c.m e mi viene meno infinito quando invece sul programma del pc "Derive" mi da più infinito..Tu che dici?
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