Esercizi analisi!!

M&C88
Ciao a tutti!!Avrei bisogno della risoluzione di alcuni esercizi:

1)lim perx che tende a zero più di 1/(x^2 + x^3) - (2/LOG(1 - 2·x))^2

2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5) Dire per quali valori di k la serie converge

3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso f(x)=e^3cos(2x) (dove e è la base dei logaritmi naturali)

4)Equazione differenziale:y(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3) con annesso problema di Cauchy y(0)=1/log2 specificando l'intervallo massimale di esistenza

Grazie per la risposte!!!

Risposte
fu^2
potresti scrivere in modo leggibile con le formule?--- :wink:

M&C88
Nn saprei cm fare :?

MaMo2
"M&C88":
Nn saprei cm fare :?


Mettile semplicemente tra due simboli di dollaro. :!:

Luc@s
$\frac{1}{x^2 + x^3} - (\frac{2}{\log(1 - 2x)})^2$
$sin\frac{n^{2k+4}}{n^{2k+5}}$
$f(x)=e^{3\cos(2x)}$
$y(x)=\frac{1}{3} e^{\frac{1}{y}}y^{2} \cos \frac{x}{3}$
$y(0)=\frac{1}{\log 2}$

M&C88
Sn quelli ke ha gentilmente scritto Luc@s solo che nel primo al secondo membro è tutto elevato al quadrato(anke il 2) e la funzione è è tutto elevato alla 3cos(2x) Grazie ancora

M&C88
Scusate ma sarebbero abbastanza urgenti...Rispondete al più presto se potete Grazie ragazzi :wink:

Gaal Dornick
Che vuol dire urgenti?

Cosa non hai capito? Dove vuoi essere aiutato?

M&C88
Nella risoluzione per esempio il limite a me viene meno infinito ma con derive invece è più infinito poi sarei interessato ai valori per i quali la serie converge.Cioè se è possibile vorrei una risoluzione!

gugo82
"M&C88":

2)Una serie:il cui termine era sin(n^(2k+4))/n^(2k+5). Dire per quali valori di k la serie converge;

"Luc@s":

$sin\frac{n^{2k+4}}{n^{2k+5}}$

Scusa M&C88, ma se la serie ha come addendi quelli che ha scritto Luc@s, allora basta semplificare nell'argomento del seno per ottenere $sin(1/n)$; la serie $\sum sin(1/n)$ è definitivamente minorata da un multiplo della serie armonica (infatti, essendo $lim_(n to +oo)(sin(1/n))/(1/n)=1$, in corrispondenza di $1/2$ esiste un $nu in NN$ tale che per $n>nu$ risulti $1/2<(sin(1/n))/(1/n)$, ossia $1/(2n)
D'altra parte, io credo che l'addendo della tua serie fosse non quello riportato da Luc@s, bensì $(sin n^(2k+4))/(n^(2k+5))$.
In questo caso la successione degli addendi è infinitesima all'infinito d'ordine superiore ad ogni $p>0$ minore di $2k+5$: infatti scelto $pge0$ trovi:

$lim_(n to +oo)n^p*(|sin n^(2k+4)|)/(n^(2k+5))=\{(0, ", se " p<2k+5),("non esiste", ", se " pge2k+5):}$.

Quindi, ad occhio e croce, per avere convergenza assoluta della serie basta imporre che $2k+5$ sia maggiore di $1$ e da questa relazione ricavare $k$:

$2k+5>1 quad => quad k> -2$.

Per $k=-2$ la serie non converge, e lo stesso vale per i $k<-2$.

Ovviamente salvo grossolani errori di valutazione! :-D

M&amp;C88
Grazie :) Gli altri invece?

gugo82
"M&C88":

4)Equazione differenziale: $y'(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3)$ con annesso problema di Cauchy $y(0)=1/(log2)$, specificando l'intervallo massimale di esistenza

L'equazione è del primo ordine, omogenea, non lineare.
Il problema ha senso per le terne $(x,y,y') in RRtimes (RR-{0})times RR$ (infatti $y$ non può assumere il valore $0$, altrimenti il fattore $e^(1/y)$ perde di significato), quindi ogni soluzione massimale del problema di Cauchy:

$\{ (y'(x)=1/3 e^(1/y)y^2 cos(x/3)),(y(0)=1/(log2)) :}$

ha da essere definita e di classe $C^1$ in qualche intervallo $Isubseteq RR$ contenente $0$ ed ivi positiva (poichè, essendo $1/(log2)>0$, se $y(x)$ assumesse in $I$ un valore negativo esisterebbe un punto $xi in I$ tale che $y(xi)=0$, il che non è possibile).

Ora, l'equazione differenziale è a variabili separabili e quindi il problema di Cauchy proposto si risolve integrando i due membri dell'equazione dopo aver "separato le varibili":

$\{ ((e^(-1/y))/(y^2)" d"y = 1/3 cos(x/3)" d"x),(y(0)=1/(log2)) :}$

$\int_(1/(log2))^y e^(-1/eta)*1/(eta^2)" d"eta = \int_0^x 1/3 cos(xi/3)" d"xi quad$ (le variabili d'integrazione le ho chiamate $xi,eta$ per non confonderle con gli estremi variabili)

$\int_(1/(log2))^y e^(-1/eta)" d"(-1/eta) = [sin(xi/3)]_0^x$

$[e^(-1/eta)]_(1/log2)^y=sin(x/3)$

$e^(-1/y)-1/2=sin(x/3)$

$e^(1/y)=1/(sin(x/3)+1/2)$

$1/y=log(1/(sin(x/3)+1/2))=-log(sin(x/3)+1/2)$

$y=-1/(log(sin(x/3)+1/2))$.

L'insieme di definizione di questo integrale si ricava imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo e che la funzione nel suo complesso assuma segno positivo (per quanto detto all'inizio): queste due condizioni si traducono nel sistema di disequazioni:

$\{(sin(x/3)+1/2>0),(sin(x/3)+1/2<1):}$

da cui con qualche passaggio ricavi:

$x in ]-pi/2,pi/2[$.

Tirando le somme, la soluzione massimale del tuo problema di Cauchy è: $y(x)=-1/(log(sin(x/3)+1/2))$ con $x in ]-pi/2,pi/2[$.

M&amp;C88
Ok grazie 6 stato molto chiaro!!! :D :D Il limite e i flessi d quella funzione?

gugo82
"M&C88":

3)Stabilire il valore della seguente funzione nei suoi punti di flesso $f(x)=e^(3cos(2x))$ (dove e è la base dei logaritmi naturali)

La $f$ è ottenuta tramite composizione di applicazioni di classe $C^oo$ in $RR$, pertanto essa è dotata di derivate d'ogni ordine continue in $RR$ ossia $f in C^oo(RR)$.

Per determinare le ordinate dei punti di flesso del grafico di $f$, calcoliamo la derivata seconda: abbiamo:

$f'(x)=-6sin(2x)*e^(3cos(2x))$

$f''(x)=-6[2cos(2x)-6sin^2(2x)]*e^(3cos(2x))=-12[cos(2x)-3sin^2(2x)]*e^(3cos(2x))$

quindi per calcolare le ascisse dei punti di flesso del grafico di $f$ occorre e basta conoscere le soluzioni dell'equazione $f''(x)=0$ la quale è equivalente a:

$cos(2x)-3sin^2(2x)=0$.

Questa è una tipica equazione goniometrica da risolvere col "metodo grafico": introdotte le due variabili ausiliarie $X=cos(2x), Y=sin(2x)$, le soluzioni della precedente equazione sono tutte e sole le soluzioni del sistema:

(*) $quad \{(X-3Y^2=0),(X^2+Y^2=1):}$;

eliminando $Y^2$ dalle due equazioni troviamo:

$X^2+1/3X-1=0$

onde $X_(1,2)=(-1/3 pm sqrt(1/9+4))/2=-1/6(1 pm sqrt(37))$; d'altra parte si vede che l'unica soluzione accettabile delle due trovate è quella che si ottiene in corrispondenza del segno $-$ (infatti dalla prima equazione $X=3Y^2$ segue facilmente che $Xge 0$) ossia $X_1=1/6(sqrt(37)-1)$.

Per terminare l'esercizio non bisogna né calcolare $Y$ né determinare la $x$ dalla relazione $cos(2x)=X_1$. Infatti con l'uso della variabile ausiliaria $X$ la funzione $f$ si trasforma in $f(X)=e^(3X)$ e per determinare il valore delle ordinate dei punti di flesso del grafico di $f$ basta conoscere le soluzioni del sistema (*) rispetto alla sola variabile $X$: ne consegue che il valore che $f$ assume in corrispondenza dei punti di flesso del suo grafico è:

$f(X_1)=e^(3X_1)=e^(1/2(sqrt(37)-1)) ~ 12,7$.

M&amp;C88
Quindi il valore -1-sqrt37/2 nn va preso vero?Il limite l'hai risolto poi?

M&amp;C88
Novità sul limite?

M&amp;C88
Novità sul limite?!

M&amp;C88
Novità sul limite?!

M&amp;C88
Per favore il limite sarebbe urgente!!!Grazie

gugo82
Prova a postare la tua soluzione del limite e poi la si corregge insieme.

Ciò ha due vantaggi: imparerai a scrivere in mathml e capirari meglio i tuoi errori. :-D

M&amp;C88
Allora io uso lo sviluppo di Taylor per log(1-2x) al primo ordine e quindi diventa -2x.A questo punto al secondo membro ho (2/-2x)^2 e qundi diventa 1/x^2.Ora avendo 1/x^2+x^3-1/x^2 faccio il m.c.m e mi viene meno infinito quando invece sul programma del pc "Derive" mi da più infinito..Tu che dici?

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