Esempio di curva come intersezione di superfici

[ee4]

Ho un piccolo problema di notazioni. Sul mio libro si dice che:
presa una curva $gamma$ riguardat come intersezione di due superfici regolari e fisse:
$f_1 (r) =0$
$f_2 (r) =0$

la matrice jacobiana si scrive:

$(((df_1)/dx_1, (df_1)/dx_2, (df_1)/dx_3),((df_2)/dx_1, (df_2)/dx_2, (df_2)/dx_3))$

se il rango è 2, due componenti di $r$ sono esprimibili in funzione della terza, almeno localmente.

su un altro libro, dice che se la superfice è data in forma parametrica $x = x(u,v)$ un punto P si dice non singolare se:


$rang (((dx_1)/du, (dx_2)/du, (dx_3)/du),((dx_1)/dv, (dx_2)/dv, (dx_3)/dv)) =2$

con $P(x_1, x_2, x_3)$

le due definizioni sono equivalenti?

[ee4]

up

[Sk_Anonymous]

$[vecnablaf_1=(delf_1)/(delx_1)vec(i_1)+(delf_1)/(delx_2)vec(i_2)+(delf_1)/(delx_3)vec(i_3)]$ è un vettore perpendicolare alla superficie di equazione implicita $[f_1(x_1,x_2,x_3)=0]$, $[vecnablaf_2=(delf_2)/(delx_1)vec(i_1)+(delf_2)/(delx_2)vec(i_2)+(delf_2)/(delx_3)vec(i_3)]$ è un vettore perpendicolare alla superficie di equazione implicita $[f_2(x_1,x_2,x_3)=0]$, facendone il prodotto vettoriale ottieni un vettore tagente alla curva intersezione delle due superfici, sempre che il rango della seguente matrice:

$(((delf_1)/(delx_1),(delf_1)/(delx_2),(delf_1)/(delx_3)),((delf_2)/(delx_1),(delf_2)/(delx_2),(delf_2)/(delx_3)))$

sia $[2]$, ovvero siano entrambi diversi dal vettore nullo e non paralleli. Voglio dire, questa condizione si riferisce ad una curva.


$[vec(t_u)=(delx_1)/(delu)vec(i_1)+(delx_2)/(delu)vec(i_2)+(delx_3)/(delu)vec(i_3)]$ e $[vec(t_v)=(delx_1)/(delv)vec(i_1)+(delx_2)/(delv)vec(i_2)+(delx_3)/(delv)vec(i_3)]$ sono due vettori tangenti alla superficie, facendone il prodotto vettoriale ottieni un vettore normale alla superficie, sempre che il rango della seguente matrice:

$(((delx_1)/(delu),(delx_2)/(delu),(delx_3)/(delu)),((delx_1)/(delv),(delx_2)/(delv),(delx_3)/(delv)))$

sia $[2]$, ovvero siano entrambi diversi dal vettore nullo e non paralleli. Invece, questa condizione si riferisce ad una superficie.