Esempio di contrazione nello spazio delle funzioni integrabi

[Zayko]

Mi servirebbe, per assimilare meglio il concetto, un esempio di contrazione che va da Cs(A), lo spazio delle funzioni integrabili in A, in sé stesso; in secondo luogo avrei un altro dubbio: mi pare di aver capito che la definizione di contrazione dipenda dal tipo di metrica indotta nello spazio sul quale lavoriamo, ma mi chiedo, dato che il concetto di punto fisso sfrutta un'equivalenza ( F(x) = x e allora ( x; F(x) ) è un punto fisso ) e non la definizione di distanza, se il teorema di Banach-Caccioppoli valga anche cambiando la metrica sullo spazio; ma se è così, allora il concetto di contrazione non dovrebbe dipendere dalla metrica indotta nello spazio ma solamente dall'applicazione, o sbaglio? Ma dato che uno spazio completo se dotato di una certa metrica non è necessariamente completo se si cambia la metrica indotta nello spazio, questo farebbe cadere una delle condizioni necessarie per il teorema di Banach-Caccioppoli, e quindi presumo di aver sbagliato qualcosa in questo ragionamento; il problema è, dove ho sbagliato?

[Zayko]

Nessuno conosce un esempio di questo tipo?

[5mrkv]

Considera con la metrica del valore assoluto
\[
x\mapsto \frac{1}{2}x:\mathbb{R}\supset A\rightarrow \mathbb{R}
\]
Per quanto riguarda il teorema, la metrica può essere qualsiasi, basta che lo spazio sia completo rispetto ad essa. Questo è richiesto nell'enunciato quindi non cade alcuna condizione.