Esempio convergenza puntuale serie di Fourier
Ciao a tutti,
supponiamo $x$ una funzione complessa di variabile reale, sia $omega_0inRR^+$.
Sia $s(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ la sua serie di Fourier associata in forma esponenziale.
Supponiamo che questa serie di Fourier goda della convergenza solo puntuale.
Quindi, in linea di principio, sarebbe possibile (dipende da caso a caso) trovare un punto $t_0inRR$ in cui $lim_(t->t_0^+)x(t)=lim_(t->t_0^-)x(t)$ e $lim_(t->t_0^+)s(t)!=lim_(t->t_0^-)s(t)$.
Mi sapreste fare un esempio?
Grazie in anticipo
supponiamo $x$ una funzione complessa di variabile reale, sia $omega_0inRR^+$.
Sia $s(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ la sua serie di Fourier associata in forma esponenziale.
Supponiamo che questa serie di Fourier goda della convergenza solo puntuale.
Quindi, in linea di principio, sarebbe possibile (dipende da caso a caso) trovare un punto $t_0inRR$ in cui $lim_(t->t_0^+)x(t)=lim_(t->t_0^-)x(t)$ e $lim_(t->t_0^+)s(t)!=lim_(t->t_0^-)s(t)$.
Mi sapreste fare un esempio?
Grazie in anticipo
Risposte
"lordb":
Ciao a tutti,
supponiamo $x$ una funzione complessa di variabile reale, sia $omega_0inRR^+$.
Sia $s(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ la sua serie di Fourier associata in forma esponenziale.
Supponiamo che questa serie di Fourier goda della convergenza solo puntuale.
Quindi, in linea di principio, sarebbe possibile (dipende da caso a caso) trovare un punto $t_0inRR$ in cui $lim_(t->t_0^+)x(t)=lim_(t->t_0^-)x(t)$ e $lim_(t->t_0^+)s(t)!=lim_(t->t_0^-)s(t)$.
Mi sapreste fare un esempio?
Grazie in anticipo
Le tue ipotesi non vanno bene. Tu assumi che:
$lim_(t->t_0^+)x(t)=lim_(t->t_0^-)x(t)$
Quindi i casi sono due:
$lim_(t->t_0^+)x(t)=x(t_0)$
e abbiamo una funzione continua e quindi non c'è nulla da aggiungere.
Oppure
$lim_(t->t_0^+)x(t) \ne x(t_0)$
e allora abbiamo un punto isolato.
"Purtroppo" i punti isolati vengono cancellati quandi fai la serie di Fourier.
Quando calcoli la serie di F. sostanzialmente fai degli integrali, e in un integrale un punto isolato non da nessun apporto.
Ciao,
grazie per la risposta.
Forse non mi sono spiegato bene.
Intendo dire che se ho solo convergenza puntuale della serie di Fourier associata a un certo segnale $x$,
potrei (dipende da caso a caso) trovare un punto $t_0$ in cui il segnale $x$ sia continuo ma non la somma $s(x)$ della serie di Fourier ad esso associato.
grazie per la risposta.
Forse non mi sono spiegato bene.
Intendo dire che se ho solo convergenza puntuale della serie di Fourier associata a un certo segnale $x$,
potrei (dipende da caso a caso) trovare un punto $t_0$ in cui il segnale $x$ sia continuo ma non la somma $s(x)$ della serie di Fourier ad esso associato.
Up.
Ancora più in breve, suppongo $x(t)$ ($tinRR$) segnale periodico continuo in $t_0inRR$, suppongo che la serie di Fourier associata a $x$ goda della sola convergenza puntuale, ergo è possibile che $sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ sia discontinua in $t_0$?
Direi proprio di sì.
Ancora più in breve, suppongo $x(t)$ ($tinRR$) segnale periodico continuo in $t_0inRR$, suppongo che la serie di Fourier associata a $x$ goda della sola convergenza puntuale, ergo è possibile che $sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ sia discontinua in $t_0$?
Direi proprio di sì.
Onestamente non capisco. Se hai in mente un esempio, scrivilo.
Una caratteristica della serie di Fourier è proprio che non rispetta i punti di discontinuita.
Cioè la serie di Fourier è una funzione continua ovunque, siccome è somme di funzioni continue.
Infatti se fai la sdF di un'onda quadra non riesci a ricreare i punti di discontinuità, ma la sdF si piazza a !/2, se il segnale ha ampiezza 1.
Una caratteristica della serie di Fourier è proprio che non rispetta i punti di discontinuita.
Cioè la serie di Fourier è una funzione continua ovunque, siccome è somme di funzioni continue.
Infatti se fai la sdF di un'onda quadra non riesci a ricreare i punti di discontinuità, ma la sdF si piazza a !/2, se il segnale ha ampiezza 1.
Ciao, grazie per la risposta.
Sì, per quanto riguarda i punti di discontinuità del segnale $x(t)$ è chiaro che non li riesca a costruire correttamente.
Mi chiedo tuttavia se potrebbe avere problemi con i punti di continuità, anzi per evitare questa possibile confusione supponiamo $x(t)$ continua.
Se chiamo ${p_n(t)}_(ninNN)$ la successione delle somme parziali della serie $sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ ho sicuramente che tutte le funzioni $p_i(t)$ con $i in NN$ sono continue.
Tuttavia ho supposto che ${p_n(t)}_(ninNN)$ converga solo puntualmente a $s_x(t)$, ergo potrebbe solo dire che $lim_(n->+oo){p_n(t)}_(ninNN)=s_x(t)=^(q.d.)x(t)$.
Questo proprio perchè se ho una successione di funzioni continue che converge solo puntualmente a una data funzione, questo tipo di convergenza non mi garantisce la continuità del limite $s_x(t)$.
Ricapitolando, anche se $x(t)$ è continua; se ho solo la convergenza puntuale, la somma della serie di Fourier associata a $x(t)$, ovvero $s_x(t),$ potrebbe avere dei punti di discontinuità.
P.s. vedo che sei mattiniero
Sì, per quanto riguarda i punti di discontinuità del segnale $x(t)$ è chiaro che non li riesca a costruire correttamente.
Mi chiedo tuttavia se potrebbe avere problemi con i punti di continuità, anzi per evitare questa possibile confusione supponiamo $x(t)$ continua.
Se chiamo ${p_n(t)}_(ninNN)$ la successione delle somme parziali della serie $sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_0t)$ ho sicuramente che tutte le funzioni $p_i(t)$ con $i in NN$ sono continue.
Tuttavia ho supposto che ${p_n(t)}_(ninNN)$ converga solo puntualmente a $s_x(t)$, ergo potrebbe solo dire che $lim_(n->+oo){p_n(t)}_(ninNN)=s_x(t)=^(q.d.)x(t)$.
Questo proprio perchè se ho una successione di funzioni continue che converge solo puntualmente a una data funzione, questo tipo di convergenza non mi garantisce la continuità del limite $s_x(t)$.
Ricapitolando, anche se $x(t)$ è continua; se ho solo la convergenza puntuale, la somma della serie di Fourier associata a $x(t)$, ovvero $s_x(t),$ potrebbe avere dei punti di discontinuità.
P.s. vedo che sei mattiniero
[ot]Non me ne parlare. Da tempo immemorabile ho la sveglia che sta a prendere polvere.[/ot]
Se una successione di funzioni converge a $f(x)$ solo puntulamente vuol dire che $f(x)$ ha un punto di discontinuità da qualche parte.
Non so forse qualcun'altro saprà aiutarti meglio di me.
Se una successione di funzioni converge a $f(x)$ solo puntulamente vuol dire che $f(x)$ ha un punto di discontinuità da qualche parte.
Non so forse qualcun'altro saprà aiutarti meglio di me.
Esistono funzioni continue periodiche la cui serie di Fourier non è convergente in tutti i punti.
Trovi i dettagli, ad esempio, sul Kolmogorov - Fomin, p. 405-406.
Trovi i dettagli, ad esempio, sul Kolmogorov - Fomin, p. 405-406.
Grazie a entrambi per le risposte
@Rigel il mio Kolmogorov Fomin ha solo 393 pagine, a quale edizione ti riferisci?
@Rigel il mio Kolmogorov Fomin ha solo 393 pagine, a quale edizione ti riferisci?
"lordb":
@Rigel il mio Kolmogorov Fomin ha solo 393 pagine, a quale edizione ti riferisci?
A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Edizioni Mir, I Edizione 1980 (534 pag.).
L'argomento viene trattato nel Cap. VIII (Serie trigonometriche. Trasformata di Fourier), par. 1.
Perfetto, grazie mille
(scusate se non faccio edit, ma non so se venga segnalata o meno la modifica del post).
@Rigel
Ho letto, non credo tuttavia di aver trovato esattamente quello che intendevo.
In sostanza il Kolmogorov-Fomin mostra come la sola continuità di $x(t)$ non sia sufficiente affinchè la serie di Fourier associata converga puntualmente a $x(t)$ stesso.
Io intendevo: se $x(t)$ (anche continua ad esempio) ammette sviluppo in serie di Fourier e la serie di Fourier ad esso associata converge solo puntualmente a $x(t)$ (quindi ipotizzo che siano soddisfatte le condizioni di convergenza puntuale), chiamata $s_x(t)$ la somma della serie di Fourier associata a $x(t)$, è possibile che $s_x(t)$ sia discontinua in qualche punto (anche se in quei punti $x(t)$ è continua)?
Secondo me sì, d'altronde è garantita solo la convergenza puntuale.
E' chiaro invece che a punti di discontinuità di $x(t)$ corrispondano punti di discontinuità di $s_x(t)$.
@Rigel
Ho letto, non credo tuttavia di aver trovato esattamente quello che intendevo.
In sostanza il Kolmogorov-Fomin mostra come la sola continuità di $x(t)$ non sia sufficiente affinchè la serie di Fourier associata converga puntualmente a $x(t)$ stesso.
Io intendevo: se $x(t)$ (anche continua ad esempio) ammette sviluppo in serie di Fourier e la serie di Fourier ad esso associata converge solo puntualmente a $x(t)$ (quindi ipotizzo che siano soddisfatte le condizioni di convergenza puntuale), chiamata $s_x(t)$ la somma della serie di Fourier associata a $x(t)$, è possibile che $s_x(t)$ sia discontinua in qualche punto (anche se in quei punti $x(t)$ è continua)?
Secondo me sì, d'altronde è garantita solo la convergenza puntuale.
E' chiaro invece che a punti di discontinuità di $x(t)$ corrispondano punti di discontinuità di $s_x(t)$.
C'è qualcosa che non mi quadra nella domanda.
Forse ciò che intendi dire è questo (dimmi se sbaglio):
supponiamo di avere una funzione \(x(t)\) continua e periodica; consideriamo la sua serie di Fourier \((s_n(t)\) e supponiamo che \(s_n(t) \to s(t)\) per ogni \(t\). Può succedere che \(s(t)\) sia discontinua in qualche punto?
Forse ciò che intendi dire è questo (dimmi se sbaglio):
supponiamo di avere una funzione \(x(t)\) continua e periodica; consideriamo la sua serie di Fourier \((s_n(t)\) e supponiamo che \(s_n(t) \to s(t)\) per ogni \(t\). Può succedere che \(s(t)\) sia discontinua in qualche punto?
Sì, sapendo inoltre che sono rispettate le condizioni di Dirichlet su $x(t)$ per la sola convergenza puntuale della serie di Fourier ad esso associata.
Se con "condizioni di Dirichlet" intendi che la funzione \(x\) debba essere di classe \(C^1\) a tratti, allora quello che chiedi non è possibile; infatti avresti \(s(t) = x(t)\), e se \(x\) è continua anche \(s\) lo è.
Nono non intendo quelle, altrimenti se non sbaglio avrei il limite uniforme, intendo quelle per la sola convergenza puntuale, eccone una versione:
1) $x$ è periodica.
2) $x$ ristretta a un periodo è continua a tratti ( inteso come sommabile e limitata).
3) $x$ ristretta a un periodo ammette in ogni punto derivata destra e sinistra finite.
Chiamo $S_x(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_ot)$.
In tal caso avreI: $S_x:RR->CC,t->[x(t^+)+x(t^-)]/2$.
Sia t_0inRR.
E' quindi chiaro che sotto queste condizioni: $x(t) text{ discontinua in } t_0 => S_x(t) text{ discontinua in }t_0 $.
In sostanza quello che mi chiedo equivale é: $x(t) text{ discontinua in } t_0<=> S_x(t) text{ discontinua in }t_0 $ ?
Secondo me no la convergenza puntuale infatti non mi garantisce la continuità nel passaggio al limite: $S_x(t)=lim_(n->+oo)s_(n,x)(t)$.
1) $x$ è periodica.
2) $x$ ristretta a un periodo è continua a tratti ( inteso come sommabile e limitata).
3) $x$ ristretta a un periodo ammette in ogni punto derivata destra e sinistra finite.
Chiamo $S_x(t)=sum_(k=-oo)^(+oo)c_k*e^(+ikomega_ot)$.
In tal caso avreI: $S_x:RR->CC,t->[x(t^+)+x(t^-)]/2$.
Sia t_0inRR.
E' quindi chiaro che sotto queste condizioni: $x(t) text{ discontinua in } t_0 => S_x(t) text{ discontinua in }t_0 $.
In sostanza quello che mi chiedo equivale é: $x(t) text{ discontinua in } t_0<=> S_x(t) text{ discontinua in }t_0 $ ?
Secondo me no la convergenza puntuale infatti non mi garantisce la continuità nel passaggio al limite: $S_x(t)=lim_(n->+oo)s_(n,x)(t)$.
Continuo a non capire...
Se sei in ipotesi di convergenza puntuale, dove \(x\) è continua anche \(s\) lo è (visto che coincidono).
In ogni caso, ti rimando all'agile volumetto di Analisi Armonica di Massimo Picardello
; nel capitolo 5 trovi molti dettagli sulle questioni di convergenza puntuale e uniforme.
Se sei in ipotesi di convergenza puntuale, dove \(x\) è continua anche \(s\) lo è (visto che coincidono).
In ogni caso, ti rimando all'agile volumetto di Analisi Armonica di Massimo Picardello
; nel capitolo 5 trovi molti dettagli sulle questioni di convergenza puntuale e uniforme.
Ok grazie! (E' stato un tuo prof. ?)
"lordb":
(E' stato un tuo prof. ?)
No; è un esperto di analisi armonica e penso che nell'agile volumetto potrai trovare risposta a molti interrogativi.
Perfetto, grazie ancora 
"Rigel":
In ogni caso, ti rimando all'agile volumetto di Analisi Armonica di Massimo Picardello
Non dovete fermi vedere queste cose altrimenti mi metto a leggerle per 3 ore.
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