Esempi per capire massimi, minimi, insiemi aperti e chiusi
Sto cercando di capire alcuni concetti 'basillari' che riesco a capirli, in primis, solo attraverso degli esempi.
Insieme aperti: $(1,2)$
Insiemi chiusi: $[1,2]$
Estremo inferiore\superiore: $(1,3]$ $1$ è estremo inferiore, anche se non è compreso nell'intervallo e $3$ è l'estremo superiore, il minimo degli eventuali maggioranti.
Minimo-massimo.
tipo se ho un insieme del tipo: $(1,2,3,4,5,6)$ il minimo è $1$ e il massimo è $6$?
Frontiera di un insieme: $[1,2]$ le frontiere sarebbero $1$ e $2$?
grazie.
Insieme aperti: $(1,2)$
Insiemi chiusi: $[1,2]$
Estremo inferiore\superiore: $(1,3]$ $1$ è estremo inferiore, anche se non è compreso nell'intervallo e $3$ è l'estremo superiore, il minimo degli eventuali maggioranti.
Minimo-massimo.
tipo se ho un insieme del tipo: $(1,2,3,4,5,6)$ il minimo è $1$ e il massimo è $6$?
Frontiera di un insieme: $[1,2]$ le frontiere sarebbero $1$ e $2$?
grazie.
Risposte
Tutto corretto.
In questo caso $3$ è anche massimo, poiché appartiene all'insieme.
L'insieme non ammette minimo.
"clever":
Estremo inferiore\superiore: $(1,3]$ $1$ è estremo inferiore, anche se non è compreso nell'intervallo e $3$ è l'estremo superiore, il minimo degli eventuali maggioranti.
In questo caso $3$ è anche massimo, poiché appartiene all'insieme.
L'insieme non ammette minimo.
Perfetto.
Inoltre c'è il caso:
$(-oo,+1]$ dove non è limitata inferiormente, ma è limitata superiormente, e ha $1$ come massimo.
oppure:
$[-1,+oo)$ insieme semichiuso\ insieme semiaperto, non limitato superiormente, solo inferiormente, e ha un minimo che è $-1$
Per definire la frontiera di un insieme posso dire che è sono gli estremi dell'intervallo?
Inoltre c'è il caso:
$(-oo,+1]$ dove non è limitata inferiormente, ma è limitata superiormente, e ha $1$ come massimo.
oppure:
$[-1,+oo)$ insieme semichiuso\ insieme semiaperto, non limitato superiormente, solo inferiormente, e ha un minimo che è $-1$
Per definire la frontiera di un insieme posso dire che è sono gli estremi dell'intervallo?
"clever":Assolutamente no. Per gli intervalli limitati, la frontiera consiste dell'insieme costituito dai due estremi. Ma la definizione di frontiera è un'altra: quale usa il tuo libro (sono possibili varie definizioni, tutte equivalenti)? Abituati a svincolarti dagli intervalli perché tra poco anche le funzioni più innocue con cui avrai a che fare non saranno definite su intervalli, ma sugli insiemi più disparati.
Per definire la frontiera di un insieme posso dire che è sono gli estremi dell'intervallo?
Riporto la definizione (in realtà ne approfitto per ripassare concetti per me polverosi 
) tratta da "Analisi Matematica" di Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, libro che sinceramente considero come uno dei migliori in materia (anche se non ho assolutamente disprezzo verso altri testi):
Continua poi dicendo altre due cose secondo me utilissime a capire il succo della cosa:
$x in delE hArr$ in ogni intorno di $x$ si trovano sia punti di $E$ sia punti di $E^c$
e
se $x$ è punto di accumulazione per $E$ e se $x !in E$, allora $x in delE$.
In conclusione, la frontiera di E contiene solo punti isolati di E e punti di accumulazione per E.
) tratta da "Analisi Matematica" di Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, libro che sinceramente considero come uno dei migliori in materia (anche se non ho assolutamente disprezzo verso altri testi):Sia $E sube RR.$ Un elemento $x in RR$ si dice:
(i) punto interno a E se esiste un suo intorno $B_c (x), c > 0$, contenuto in E,
(ii) punto esterno a E se è punto interno a $E^c$,
(iii) punto di frontiera per E se non è interno nè esterno ad E.
L'insieme dei punti di frontiera per E, indicato con $delE$, si dice frontiera di E, ed $hat(E)$ indica l'insieme dei punti interni di E:
$delE = {x in RR : x$ è punto di frontiera per E$}$
$hat(E) = {x in RR : x$ è punto interno ad E$}$
Continua poi dicendo altre due cose secondo me utilissime a capire il succo della cosa:
$x in delE hArr$ in ogni intorno di $x$ si trovano sia punti di $E$ sia punti di $E^c$
e
se $x$ è punto di accumulazione per $E$ e se $x !in E$, allora $x in delE$.
In conclusione, la frontiera di E contiene solo punti isolati di E e punti di accumulazione per E.
Il libro non riporta alcuna definizione su frontiera di un insieme.
C'è estremo superiore\inferiore, e quelli da me citati, questo no.
C'è estremo superiore\inferiore, e quelli da me citati, questo no.
Ma come no?? E' il Bramanti-Pagani-Salsa il tuo libro? E cosa c'è scritto a pagina 134 (dell'edizione 1995)?
No.
A me è edizione 2009
Zanichelli..
a pag 134 di questo libro c'è la crescita di una funzione all'infinito.
A me è edizione 2009
Zanichelli..
a pag 134 di questo libro c'è la crescita di una funzione all'infinito.
una cosa.
cosa significa $E^c$? Non c'è un modo più usuale per scrivere il punto (ii) del post di Observer?
cosa significa $E^c$? Non c'è un modo più usuale per scrivere il punto (ii) del post di Observer?
$E^C$ significa il complementare di $E$. Probabilmente lo hai visto come $RR \setminus E$ oppure $RR-E$.
Ah ecco, capito, grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo