Esempi insiemi rari e magri?
Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe farmi qualche semplice esempio di insieme raro o magro?
Un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ è raro se e solo se l'interno della chiusura di $A$ è vuoto, o equivalentemente, se il complementare della chiusura di $A$ è denso in $X$ (ovvero la chiusura del complementare della chiusura è $X$).
Un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico è magro se e solo se è unione numerabile (o finita) di insiemi rari.
Help!
Qualcuno saprebbe farmi qualche semplice esempio di insieme raro o magro?
Un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico $X$ è raro se e solo se l'interno della chiusura di $A$ è vuoto, o equivalentemente, se il complementare della chiusura di $A$ è denso in $X$ (ovvero la chiusura del complementare della chiusura è $X$).
Un sottoinsieme $A$ di uno spazio topologico è magro se e solo se è unione numerabile (o finita) di insiemi rari.
Help!
Risposte
PS gli insiemi magri sono detti anche di prima categoria
Per mantenerti sul semplice mettiti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con la topologia naturale e pensa ai singleton [tex]$\{ q\} \subseteq \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$q\in \mathbb{Q}$[/tex]... Come ti paiono?
E quindi cosa puoi dire su [tex]$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$[/tex]?
E quindi cosa puoi dire su [tex]$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$[/tex]?
"gugo82":
Per mantenerti sul semplice mettiti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con la topologia naturale e pensa ai singleton [tex]$\{ q\} \subseteq \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$q\in \mathbb{Q}$[/tex]... Come ti paiono?
E quindi cosa puoi dire su [tex]$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$[/tex]?
Dunque, premetto che di topologia sono molto scarso...
Con topologia naturale intendi quella indotta dalla distanza $d=|y-x|$, vero?
$\{ q\} \subseteq \mathbb{R}$ è un chiuso perché il suo complementare è aperto, giusto?
Se è chiuso la sua chiusura coincide con $\{ q\}$ stesso.
A questo punto, per dire che è raro, vorrei dire che il suo interno è vuoto ma non so dire il perché (sicuramente una banalità...).
Essendo la chiusura di Q uguale a R allora Q è magro, essendo Q unione numerabile di numeri razionali.
Quante ne ho azzeccate?
E' tutto giusto.
Ti resta solo da verificare che il singoletto [tex]$q$[/tex] è raro.
Che definizione hai di interno?
Tieni presente che la topologia su cui stiamo lavorando è quella euclidea (o naturale, appunto), dove gli aperti sono del tipo [tex]$(a,b)$[/tex] (con le unioni e il vuoto).
Se ci pensi, anche usando la seconda formulazione di insieme raro viene subito. Chi è il complementare di un singleton?
Ti resta solo da verificare che il singoletto [tex]$q$[/tex] è raro.
Che definizione hai di interno?
Tieni presente che la topologia su cui stiamo lavorando è quella euclidea (o naturale, appunto), dove gli aperti sono del tipo [tex]$(a,b)$[/tex] (con le unioni e il vuoto).
Se ci pensi, anche usando la seconda formulazione di insieme raro viene subito. Chi è il complementare di un singleton?
Ah Ok, il complementare di un singleton è tutta la retta R meno quel singleton, e la chiusura proprio R, quindi il singleton è raro (ma questo termine da cosa deriva?).
Usando invece la prima definizione...
pensandoci meglio la parte interna è l'insieme di tutti quegli elementi il cui intorno appartiene all'insieme.
Quindi un singleton ha parte interna vuota perchè non contiene nessun intorno, am I right?
Usando invece la prima definizione...
pensandoci meglio la parte interna è l'insieme di tutti quegli elementi il cui intorno appartiene all'insieme.
Quindi un singleton ha parte interna vuota perchè non contiene nessun intorno, am I right?
"salemgold":
Ah Ok, il complementare di un singleton è tutta la retta R meno quel singleton, e la chiusura proprio R, quindi il singleton è raro (ma questo termine da cosa deriva?).
Giusto. Il termine, per quanto ne so io, è la traduzione inglese di "singoletto", molto facile trovarlo.
"salemgold":
pensandoci meglio la parte interna è l'insieme di tutti quegli elementi il cui intorno appartiene all'insieme.
Diciamo meglio: gli elementi per cui esiste un intorno appartenente all'insieme. "Il cui intorno" non significa molto.
"salemgold":
Quindi un singleton ha parte interna vuota perchè non contiene nessun intorno, am I right?
Perché i suoi punti (uno solo, lui stesso) non ammettono (ammette) intorni contenuti nell'insieme (che ancora una volta è il punto stesso).
Ok, so che avevi capito, ho aggiustato un po' la terminologia.
Ciao!
grazie per le precisazioni 
grazie a entrambi per l'aiuto! Ho dato un significato alle definizioni...
Cmq chi voglia postare altri esempi/esercizi sull'argomento è il benvenuto!
grazie a entrambi per l'aiuto! Ho dato un significato alle definizioni...
Cmq chi voglia postare altri esempi/esercizi sull'argomento è il benvenuto!
Most convex functions are nice
Fioravante Patrone
Numerical Functional Analysis and Optimization, 1532-2467, Volume 9, Issue 3, 1987, Pages 359 – 369
Abstract
Let [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n) = \{ f: \mathcal{R}^n \rightarrow [-\infty,+\infty] : f \ \text{is convex and lower semicontinuous} \}[/tex]. This space with the metric of epi-convergence is compact, hence complete. For [tex]f \in \Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex] and [tex]p \in \mathcal{R}^n[/tex], let [tex]f_p[/tex] be the function defined by [tex]f_p(x)=f(x)-(p,x)[/tex]. Let [tex]N(\mathcal{R}^n)[/tex] be the set of real-valued functions [tex]f \in \Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex] which are differentiable on all of [tex]\mathcal{R}^n[/tex] and s.t. [tex]f_p[/tex] is well-posed for every [tex]p \in \mathcal{R}^n[/tex]. Then, [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n) \backslash N(\mathcal{R}^n)[/tex] is a first category (i.e.: meager) set in [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex].
Fioravante Patrone
Numerical Functional Analysis and Optimization, 1532-2467, Volume 9, Issue 3, 1987, Pages 359 – 369
Abstract
Let [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n) = \{ f: \mathcal{R}^n \rightarrow [-\infty,+\infty] : f \ \text{is convex and lower semicontinuous} \}[/tex]. This space with the metric of epi-convergence is compact, hence complete. For [tex]f \in \Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex] and [tex]p \in \mathcal{R}^n[/tex], let [tex]f_p[/tex] be the function defined by [tex]f_p(x)=f(x)-(p,x)[/tex]. Let [tex]N(\mathcal{R}^n)[/tex] be the set of real-valued functions [tex]f \in \Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex] which are differentiable on all of [tex]\mathcal{R}^n[/tex] and s.t. [tex]f_p[/tex] is well-posed for every [tex]p \in \mathcal{R}^n[/tex]. Then, [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n) \backslash N(\mathcal{R}^n)[/tex] is a first category (i.e.: meager) set in [tex]\Gamma(\mathcal{R}^n)[/tex].
@FP: Divertente!
In effetti mi pare di capire che nella teoria degli spazi funzionali "strani" o nelle classi di insiemi (ad esempio nella classe degli insiemi convessi di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]) questi risultati di "grandezza/piccolezza topologica" sono all'ordine del giorno (me ne sono capitati altri sotto gli occhi; mi pare di ricordare cose tipo sulla differenziabilità delle funzioni continue, etc...).
Potremmo dire che, in mancanza di una buona misura, il concetto di insieme raro/magro è quello migliore per caratterizzare la "piccolezza" e perciò è molto importante.
Curiosità notazionale: [tex]$(p,x)$[/tex] è il prodotto scalare, giusto? (Io sono abituato con le parentesi angolari...)
@salemgold: Non hai mai seguito un corso di Topologia di base? E con Analisi Funzionale come fai?... Ti consiglio di rimediare.
Ad ogni modo, sì la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è quella metrica indotta dal valore assoluto.
Inoltre noto che ogni insieme numerabile ha interno vuoto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] naturale (perchè?); a fortiori ogni singoletto ha interno vuoto.
Per esercizio (l'ho pensato al momento... Ma dovrebbe essere fattibile anche così ad occhio):
Sia [tex]$A:=[0,1[\cap \mathbb{Q}$[/tex] e, per ogni [tex]$a\in A$[/tex], si ponga [tex]$Q_a:=a+\mathbb{Z} =\{ a+m,\ \text{con $m\in \mathbb{Z}$}\}$[/tex].
Si provi che ogni [tex]$Q_a$[/tex] è raro e che, presi [tex]$a\neq b \in A$[/tex], risulta [tex]$Q_a\cap Q_b =\emptyset$[/tex].
Infine si deduca da quanto precedentemente provato che [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] è magro.
In effetti mi pare di capire che nella teoria degli spazi funzionali "strani" o nelle classi di insiemi (ad esempio nella classe degli insiemi convessi di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]) questi risultati di "grandezza/piccolezza topologica" sono all'ordine del giorno (me ne sono capitati altri sotto gli occhi; mi pare di ricordare cose tipo sulla differenziabilità delle funzioni continue, etc...).
Potremmo dire che, in mancanza di una buona misura, il concetto di insieme raro/magro è quello migliore per caratterizzare la "piccolezza" e perciò è molto importante.
Curiosità notazionale: [tex]$(p,x)$[/tex] è il prodotto scalare, giusto? (Io sono abituato con le parentesi angolari...)
@salemgold: Non hai mai seguito un corso di Topologia di base? E con Analisi Funzionale come fai?... Ti consiglio di rimediare.
Ad ogni modo, sì la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è quella metrica indotta dal valore assoluto.
Inoltre noto che ogni insieme numerabile ha interno vuoto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] naturale (perchè?); a fortiori ogni singoletto ha interno vuoto.
Per esercizio (l'ho pensato al momento... Ma dovrebbe essere fattibile anche così ad occhio):
Sia [tex]$A:=[0,1[\cap \mathbb{Q}$[/tex] e, per ogni [tex]$a\in A$[/tex], si ponga [tex]$Q_a:=a+\mathbb{Z} =\{ a+m,\ \text{con $m\in \mathbb{Z}$}\}$[/tex].
Si provi che ogni [tex]$Q_a$[/tex] è raro e che, presi [tex]$a\neq b \in A$[/tex], risulta [tex]$Q_a\cap Q_b =\emptyset$[/tex].
Infine si deduca da quanto precedentemente provato che [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] è magro.
"gugo82":
@FP: Divertente!
In effetti mi pare di capire che nella teoria degli spazi funzionali "strani" o nelle classi di insiemi (ad esempio nella classe degli insiemi convessi di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]) questi risultati di "grandezza/piccolezza topologica" sono all'ordine del giorno (me ne sono capitati altri sotto gli occhi; mi pare di ricordare cose tipo sulla differenziabilità delle funzioni continue, etc...).
1. in effetti quel mio risultato è figlio di un interesse per gli insiemi grassi e magri che scaturisce da un seminario che verteva proprio sul fatto che nella classe delle funzioni continue quelle derivabili in almeno un punto sono un insieme magrolino.
2. c'è un'altra nozione di magrezza, che ruota attorno alla def. di insieme sigma-porous (un sigma-porous è magro)
3. comunque, sì, ci si arrangia come si può nel cercare di trovare insiemi grandi e piccoli
"gugo82":
@salemgold: Non hai mai seguito un corso di Topologia di base? E con Analisi Funzionale come fai?... Ti consiglio di rimediare.
Ad ogni modo, sì la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è quella metrica indotta dal valore assoluto.
Inoltre noto che ogni insieme numerabile ha interno vuoto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] naturale (perchè?); a fortiori ogni singoletto ha interno vuoto.
Per esercizio (l'ho pensato al momento... Ma dovrebbe essere fattibile anche così ad occhio):
Sia [tex]$A:=[0,1[\cap \mathbb{Q}$[/tex] e, per ogni [tex]$a\in A$[/tex], si ponga [tex]$Q_a:=a+\mathbb{Z} =\{ a+m,\ \text{con $m\in \mathbb{Z}$}\}$[/tex].
Si provi che ogni [tex]$Q_a$[/tex] è raro e che, presi [tex]$a\neq b \in A$[/tex], risulta [tex]$Q_a\cap Q_b =\emptyset$[/tex].
Infine si deduca da quanto precedentemente provato che [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] è magro.
Si, Topologia non l'ho mai fatta perchè in triennale (classe Matematica) ho seguito un percorso particolare (economico) dove non era prevista. Ora però in specialistica ho diverse lacune che colmo mano a mano che non capisco un termine o un ragionamento...
Grazie per l'esercizio! domani ho un esame, appena ho un attimo mi impegnerò
"Steven":
Tieni presente che la topologia su cui stiamo lavorando è quella euclidea (o naturale, appunto), dove gli aperti sono del tipo [tex]$(a,b)$[/tex] (con le unioni e il vuoto).
N.b. Più precisamente l'insieme ${(a,b)| a,b \in R}$ è una base della topologia naturale, cioè grossomodo ogni aperto lo puoi fare unendo opportunamente insiemi di questo tipo.
Altra questione: detto [tex]$\mathbb{A} \subseteq \mathbb{R}$[/tex] l'insieme dei numeri reali algebrici (i.e. [tex]$c\in \mathbb{A} \Leftrightarrow \exists P\in \mathbb{Z}[x] :\ P(c)=0$[/tex] -qui [tex]$\mathbb{Z}[x]$[/tex] è la classe dei polinomi a coefficienti in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex]), si può dire che [tex]$\mathbb{A}$[/tex] è magro in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?
L'insieme che tu citi è numerabile..e i numerabili sono per foza magri.
Ho sonno e sto andando a dormire, prometto che domani giustifico e commento!
Ho sonno e sto andando a dormire, prometto che domani giustifico e commento!
"Gaal Dornick":
L'insieme che tu citi è numerabile e i numerabili sono per foza magri.
Eh, lo so Gaal.
Il mio intento era segnalare qualche esercizietto facile facile per uno studente alle prime armi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo