Esame di calcolo3 riguardante integrali doppi, forme diff.
Come prima cosa.... Ciao a tutti,
raga, non sapevo prorpio dell'esistenza di questo fantastico sito di matematica, spero di riuscire, grazie a voi, a trovare soluzioni su alcuni problemi che ho in matematica per affrontare l'esame all'università.
raga, non sapevo prorpio dell'esistenza di questo fantastico sito di matematica, spero di riuscire, grazie a voi, a trovare soluzioni su alcuni problemi che ho in matematica per affrontare l'esame all'università.
Risposte
"eMiliu":
Come prima cosa.... Ciao a tutti,
raga, non sapevo prorpio dell'esistenza di questo fantastico sito di matematica, spero di riuscire, grazie a voi, a trovare soluzioni su alcuni problemi che ho in matematica per affrontare l'esame all'università.
Beh, benvenuto!
Se hai difficoltà con qualche teorema o problema, allora postalo e vediamo ch eriusciamo a fare...
Ciao!
espongo un mio esercizio:
w(x,y)=[((2x)/((x^2)+((y-4)^2)))+((y)/((x^2)+(y^2)))]dx+[((2y-8)/((x^2)+((y-4)^2)))-(x)/((x^2)+(y^2))]dy
Si chiede di
calcolare l’integrale di ! lungo la circonferenza di raggio 1, centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario
che si fa??
w(x,y)=[((2x)/((x^2)+((y-4)^2)))+((y)/((x^2)+(y^2)))]dx+[((2y-8)/((x^2)+((y-4)^2)))-(x)/((x^2)+(y^2))]dy
Si chiede di
calcolare l’integrale di ! lungo la circonferenza di raggio 1, centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario
che si fa??
"eMiliu":
espongo un mio esercizio:
w(x,y)=[((2x)/((x^2)+((y-4)^2)))+((y)/((x^2)+(y^2)))]dx+[((2y-8)/((x^2)+((y-4)^2)))-(x)/((x^2)+(y^2))]dy
Si chiede di
calcolare l’integrale di ! lungo la circonferenza di raggio 1, centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario
che si fa??
Urka che integralone, ti consiglio di scrivere ste formule in Latex altrimenti sono difficili da capire.
Abbiamo la parametrizzazione $x=sin(t)$ e $y=cos(t)$ dove $t$ varia tra $0$ e $2pi$ ovviamente devi anche mutare i differenziali $dx=cos(t)dt$ e $dy=-sin(t)dy$, mi sorge un dubbio: non ti riferisci al piano complesso, vero?
Ciao!
No no, io piano è quello cartesiano..
ok, con la parametrizzazione c'ero...
il fatto che mi turba e che mi dice
"centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario"..
cosa implica questo??
ok, con la parametrizzazione c'ero...
il fatto che mi turba e che mi dice
"centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario"..
cosa implica questo??
"eMiliu":
No no, io piano è quello cartesiano..
ok, con la parametrizzazione c'ero...
il fatto che mi turba e che mi dice
"centrata nell’origine
e percorsa una sola volta in senso antiorario"..
cosa implica questo??
Implica che l'integrale (scusa prima ho invertito la parametrizzazione è $x=cos(t)$ e $y=sin(t)$) va fatto variando $t$ da $0$ a $2pi$. Questo è importante perchè saprai certamente che
$int_a^b=-int_b^a$
quindi il senso di percorrenza dell'integrale è importante, inverti il senso di percorrenza e il segno dell'integrale sarà opposto.
quindi io dovrei fare, meno l'integrale, che va
da 2pi a 0 di w????
ho capito bene???
se è si... siccome è l'integrale di una forma diff.,
l'integrale lo devo scomporre in un integrale in dx della parte in dx e un integrale in dy della parte in dy?????
da 2pi a 0 di w????
ho capito bene???
se è si... siccome è l'integrale di una forma diff.,
l'integrale lo devo scomporre in un integrale in dx della parte in dx e un integrale in dy della parte in dy?????
"eMiliu":
quindi io dovrei fare, meno l'integrale, che va
da 2pi a 0 di w????
ho capito bene???
se è si... siccome è l'integrale di una forma diff.,
l'integrale lo devo scomporre in un integrale in dx della parte in dx e un integrale in dy della parte in dy?????
Se vuoi, ma puoi anche fare + l'integrale da $0$ a $2pi$, attento solo a non fare + l'integrale da $2pi$ a $0$ altrimenti sbagli segno!
Si puoi dividere l'integrale in una parte che contiene solo $dx$ e una $dy$, così semplifichi i calcoli.
Ciao!
Grazie carlo23, sei stato davvero grande!!
Una domanda sul sito, tipo se io domani ho altro qualche problema(questo sicuramente), posso continuare a scrivere su questo topic o verrà chiuso stasera??
Una domanda sul sito, tipo se io domani ho altro qualche problema(questo sicuramente), posso continuare a scrivere su questo topic o verrà chiuso stasera??
puoi fare come vuoi...continuare a scrivere qui,aprire un nuovo topic!:-D
Raga, io so che una forma differenziale, per essere esatta, deve essere chiusa e semplicemente connessa....
per verificare se è chusa so come si ma....
ma per vedere se è semplicemente connessa, come si fa?????
per verificare se è chusa so come si ma....
ma per vedere se è semplicemente connessa, come si fa?????
Beh per vedere se è semplicemente connesso ( il dominio dell'integrale) dovresti "visualizzarlo".
Vedere cioè se qualsiasi cammino $gamma$ consideriamo esso sarà sempre la frontiera di un dominio connesso.
Nella grande maggioranza dei casi, questo significa assicurarsi che il dominio non abbia "buchi"....
Il fatto che il dominio debba essere esente da "buchi" deriva dal fatto che per dimostrare il teorema da te citato, bisogna applicare il teorema di Stokes alla frontiera $gamma$ del dominio D. Tra le ipotesi di Stokes c'è il fatto che D è un domino regolare. Pertanto se D fosse "bucato", non sarebbe regolare e quindi non potremmo applicare il teorema per le forme esatte.
( non mi azzannate per la storia dei buchi...)
Vedere cioè se qualsiasi cammino $gamma$ consideriamo esso sarà sempre la frontiera di un dominio connesso.
Nella grande maggioranza dei casi, questo significa assicurarsi che il dominio non abbia "buchi"....
Il fatto che il dominio debba essere esente da "buchi" deriva dal fatto che per dimostrare il teorema da te citato, bisogna applicare il teorema di Stokes alla frontiera $gamma$ del dominio D. Tra le ipotesi di Stokes c'è il fatto che D è un domino regolare. Pertanto se D fosse "bucato", non sarebbe regolare e quindi non potremmo applicare il teorema per le forme esatte.
( non mi azzannate per la storia dei buchi...)
ma un modo matematico per sapere se esatta non c'è???
una volta che ho stabilito che le derivate incrociate sono uguali,è che quindi è chiusa, come faccio a vedere se è esatta??
dovrei fare un grafico o cosa???
una volta che ho stabilito che le derivate incrociate sono uguali,è che quindi è chiusa, come faccio a vedere se è esatta??
dovrei fare un grafico o cosa???
Modo matematico...che paroloni....
Fare un grafico non è la stessa cosa che "vedere" se la superficie ha buchi ?
Fare un grafico non è la stessa cosa che "vedere" se la superficie ha buchi ?
Spassky hai reso perfettamente l'idea...
ma non so come attuarla!!
puoi farmi un esempio con la forma differenziale che ho messo in questa discussione???
ma non so come attuarla!!
puoi farmi un esempio con la forma differenziale che ho messo in questa discussione???
Trova innanzitutto l'aperto in cui è definita la forma differenziale
$w(x,y)=[((2x)/((x^2)+((y-4)^2)))+((y)/((x^2)+(y^2)))]dx+[((2y-8)/((x^2)+((y-4)^2)))-(x)/((x^2)+(y^2))]dy$
Notiamo che le le limitazioni, provengono dai denominatori, e dunque :
$x^2+(y-4)^2!=0$ e $x^2+y^2!=0$
Visto che la prima relazione è sempre verificata, l'aperto A in cui è definita $w(x,y)$ è $(R^2)-{(0,0)}$
Questo insieme, chiaramente non è semplicemente connesso, perchè ha un "buco" in (0,0), e pertanto non puoi vedere se la forma differenziale è esatta passando per le forme chiuse.
Prova con il teorema fondamentale delle forme differenziali : vedi se l'integrale curvilineo è indipendente dal cammino.
Spero di essere stato chiaro
$w(x,y)=[((2x)/((x^2)+((y-4)^2)))+((y)/((x^2)+(y^2)))]dx+[((2y-8)/((x^2)+((y-4)^2)))-(x)/((x^2)+(y^2))]dy$
Notiamo che le le limitazioni, provengono dai denominatori, e dunque :
$x^2+(y-4)^2!=0$ e $x^2+y^2!=0$
Visto che la prima relazione è sempre verificata, l'aperto A in cui è definita $w(x,y)$ è $(R^2)-{(0,0)}$
Questo insieme, chiaramente non è semplicemente connesso, perchè ha un "buco" in (0,0), e pertanto non puoi vedere se la forma differenziale è esatta passando per le forme chiuse.
Prova con il teorema fondamentale delle forme differenziali : vedi se l'integrale curvilineo è indipendente dal cammino.
Spero di essere stato chiaro
ehm... no!!!
altro esempio:
se in una forma differenziale ho al denominatore
$sqrt(x^2+(y-1)^2)$
dovrei dire che il suo dominio di definizione è $x^2+(y-1)^2!=0$ quindi tutto $R^2$-(0,0)
e che questo dominio è semplicemente connesso????
o non ho capito nulla???
altro esempio:
se in una forma differenziale ho al denominatore
$sqrt(x^2+(y-1)^2)$
dovrei dire che il suo dominio di definizione è $x^2+(y-1)^2!=0$ quindi tutto $R^2$-(0,0)
e che questo dominio è semplicemente connesso????
o non ho capito nulla???
Cominciamo daccapo.
Ora ti faccio un altro esempio, tentando di esser più chiaro possibile.
Prendiamo la forma differenziale
$omega=-y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy$
L'insieme di definizione di $omega$ è chiaramente $R-{(0,0)}$. Giusto ? Chiamiamo A questo aperto.
$omega$ è chiusa in A e questo lo puoi verificare semplicemente.
Questa forma differenziale, però, non è nemmeno esatta in A. Perchè?
La forma differenziale è certamete chiusa in A, ma A non è un semplicemente connesso perchè non è vero che qualsiasi curva chiusa e regolare contenuta è la frontiera di un dominio D interamente contenuto in A ( se scegli un cerchio centrato nell'origine, ad esempio, c'è il "buco" in $(0,0)$ ) .
Alcuni testi spiegano la cosa dicendo che non è vero che ogni curva appartente ad A è omotopa ad un punto.
Dunque se non A non è semplicemente connessa, non possiamo applicare il "trucco" delle forme differenziali chiuse.
E pertanto ci tocca un'altra strada : usiamo il teorema fondamentale delle f.d.
Calcoliamo l'integrale di $omega$ su una curva chiusa interamente contenuta in A ( ad esempio una circonferenza centrata in $(0,0)$) .
Se fai l'integrale esce $2pi$. E visto che a rigore una f.d. esatta integrata su un cammino chiuso dà zero, $omega$ non è esatta.
Ti è più chiaro ora ?
Ora ti faccio un altro esempio, tentando di esser più chiaro possibile.
Prendiamo la forma differenziale
$omega=-y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy$
L'insieme di definizione di $omega$ è chiaramente $R-{(0,0)}$. Giusto ? Chiamiamo A questo aperto.
$omega$ è chiusa in A e questo lo puoi verificare semplicemente.
Questa forma differenziale, però, non è nemmeno esatta in A. Perchè?
La forma differenziale è certamete chiusa in A, ma A non è un semplicemente connesso perchè non è vero che qualsiasi curva chiusa e regolare contenuta è la frontiera di un dominio D interamente contenuto in A ( se scegli un cerchio centrato nell'origine, ad esempio, c'è il "buco" in $(0,0)$ ) .
Alcuni testi spiegano la cosa dicendo che non è vero che ogni curva appartente ad A è omotopa ad un punto.
Dunque se non A non è semplicemente connessa, non possiamo applicare il "trucco" delle forme differenziali chiuse.
E pertanto ci tocca un'altra strada : usiamo il teorema fondamentale delle f.d.
Calcoliamo l'integrale di $omega$ su una curva chiusa interamente contenuta in A ( ad esempio una circonferenza centrata in $(0,0)$) .
Se fai l'integrale esce $2pi$. E visto che a rigore una f.d. esatta integrata su un cammino chiuso dà zero, $omega$ non è esatta.
Ti è più chiaro ora ?
Si, grazie spassky!!!
Non so perchè mi viene complicato a capire....
forse perchè non riesco a svolgere questo ragionamente in un esercizio che ho qui davanti....
potrei inviartelo come allegato???
Non so perchè mi viene complicato a capire....
forse perchè non riesco a svolgere questo ragionamente in un esercizio che ho qui davanti....
potrei inviartelo come allegato???
Postalo, vediamo se sono in grado di aiutarti ( il che non è affatto automatico...)
Ehm.... come si posta???
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