Esame analisi

[ryo-votailprof]

Salve a tutti, qualcuno mi puo' dare una mano con questi esercizi? e possibilmente spiegarmi i passaggi? Sono alcuni esmpi di esercizi che oltre ad altri, mi possono uscire nell'esame e che ho qualche difficoltà a risolvere (non so se li risolvo bene ed alcuni non so proprio come fare) Ecco una vecchia prova di mesi fa:
1)Calcolare dove possibile i seguenti limiti usando la definizione di limite, dove non è possibile spiegare perchè:
$lim_(x->0+) (logx^3)$ , $lim_(x->0-)(sqrt x^3)$ , $lim_(x->+infty)(sqrt (x^3 + x^2))/(e^x)$ , $lim_(x->-infty) (2)/ (x^2 +1)$
$lim_(x->0+)(cosx/x)$

2)Calcolare la derivata prima e seconda delle seguenti funzioni:
F(X) $log(( sinx)/( x^2 + x))$ , g(x) $(sinx-cosx)/(x^3 - x)$ , H(x) $xlogx + e^x$

3) Calcolare i seguenti integrali:
$\int sqrt (1-x^3) dx$ , $\int xlog^2 x dx$ , $\int x sqrt (1-x^2) dx$

4)Studiare la funzione F(x) $(xlogx)/(x^2-4)$, disegnare il grafico, Calcolare l'area sotto il grafico di f(x) e l'asse x con $0<=x<=2$ ( dove però i simboli sono maggiore uguale e minore uguale)

5) Determinare il dominio di tutte le funzioni del punto 1 e 2

RINGRAZIO Chiunque può darmi una mano con qualcuno di questi esercizi. Alcuni li so fare e vorrei un confronto per essere sicuro vadano bene, altri per niente. Ho cercato su internet esempi simili i esercizi, ma per molti senza successo. Chiedo a tutti scusa per il disturbo

[lordb]

Ciao e benvenuto,
leggi questo Come scrivere le formule, altrimenti è complicato capire cosa hai scritto.

[ryo-votailprof]

proverò a modificare il messaggio e vedere se riesco a scriverlo come si deve.

[gugo82]

@ryo87: Idee tue?
Cfr. questo avviso, secondo punto.

[ryo-votailprof]

Ok, sui limiti zero, x il resto tra poco inserisco e mi fate sapere

[franzu1]

$\ int sqrt(1-x^3) dx $
Credo che questo nn sia elementarmente calcolabile...
$\ int xlog^2x dx $
Questo per parti...

[ryo-votailprof]

pian piano sto cercando di inserire come risolvo io alcuni di questi esercizi, poi nel caso se potete darmi un aiuto ve ne sono grato. Per ignoranza vi chiedo se si può riuscire a finire tutto un compito del genere ( al quale vanno aggiunti 2 semplici sistemi, e trovare il punto comune a 2 rette) in un tempo normale di esame che penso sia 3ore?

[ryo-votailprof]

Ecco le derivate prima e seconda.
1) F(x) $x+e^(2x)$ F1(x) $1+2e^(2x)$ F2(x) $4e^(2x)$

Su queste altre 2 ho i miei dubbi, perchè ci sono numerosi passaggi, e quindi se si svolgono così mi cacciano metà del tempo di esame se non di più:
2) F(x) $log((sinx)/(x^2+x))$

F1(x) $(1/((sinx)/(x^2+x)))*[(cosx*(x^2+x)-sinx*(2x+1))/(x^2+x)^2]$ Segue

$((x^2+x)/(sinx))*[(x^2cosx+xcosx-2xsinx-sinx)/(x^2+x)^2]$

$(1/sinx)*[(x^2cosx+xcosx-2xsinx-sinx)/(x^2+x)]$

F2(x) $((-1+cosx)/(sen^2x))*$
$*{([(2x*cosx+x^2*(-sinx))+(1*cosx+x*(-sinx))-(2*sinx+2x*cosx)-cosx]*(x^2+x))/(x^2+x)^2$
$-((x^2+x)-[(x^2cosx+xcosx-2xsinx-sinx)*(2x+1)])/(x^2+x)^2}$ Segue

F2(x) $((1-cosx)/(sen^2x))*[((2xcosx-x^2senx+cosx-xsinx-2senx+2xcosx)*(x^2+x)-)/(x^2+x)^2$
$(-(2x^3cosx+2x^2cosx-4x^2sinx-2sinx+x^2cosx+xcosx-2xsinx-sinx))/(x^2+x)^2]$
Finale con opportune semplificazioni del tipo 3xsenx-2xsenx = xsenx

F2(x) $((1+cosx)/(sen^2x))*((2x^3cosx-x^4senx+2x^2cosx-2x^3senx+x^2senx-3senx)/(x^2+x)^2)$

F2(x) $

[PZf]

Potresti cavartela più in fretta notando che $F(x)=\log|\sin x/(x^2+x)|=log|sin x|-log |x| -log|1+x|$ (NB: ho aggiunto i moduli, credo che il testo corretto sia così).
Quindi la derivata prima è $F'(x)=1/tan x-1/x-1/(1+x)$ e la derivata seconda è $F''(x)=-1/{sin^2x}+1/(x^2)+1/(1+x)^2$

[ryo-votailprof]

Hai usato la formula del quoziente dei logaritmi? grazie. Quest altro esercizio invece non si può semplificare?
$((sinx-cosx)/(x^3-x))$

F1(x) $((cosx+senx)*(x^3-x)-(sinx-cosx)*(3x^2-1))/(x^3-x)^2$ si Lacia così e si procede con F2(x)? oppure:
$((x^3cosx+x^3senx-xcosx-xsenx)+(-3x^2sinx+3x^2cosx+senx-cosx))/(x^3-x)^2$

Ora come si fa la derivata 2, perchè non penso di essere sulla strada giusta.

Per la funzione F(x) $(xlogx)/(x^2-4)$
Dominio $AA$ xER: x>0 v x diversa da +/- 2 o $D: (-infty,-2)U(-2,2) U (2,+infty)$ o D $R^+ -{+-2}$
Segni sarà x tutto R, x> 0 e X<-2 v x>2 quindi facendo il grafico dei segni avrò
F(x)positiva $-22$ f(x) $(-2,0)U(2,+infty)$

Intersezione con gli assi
intersezioni asse x non dovrebbero esserci (x>0), sarà y=0 e $(xlogx)/(x^2-4)$, $(xlogx)$
potrei risolverla solo graficamente? come?

DERIVATA
$(xlogx)/(x^2-4)$ F1(x) $ (1/(x/(x^2-4)))*((((1*x^2-4)-(x*(2x)))/(x^2-4)^2)$
$((x^2-4)/x))$$*(((X^2-4-2x^2))/(x^2-4)^2)$
$(1/x)*((x^2-4)/(x^2-4))$ F1(x) $1/x$


Ora sostituisco $1/x$ alla funzione ed avrò $1/x*((log(1/x))/((1/x)^2-4))$ e qui mi dovrebbe uscire il minimo o max (come risolvo?) poi pongo la stessa > di zero e tramite segni cerco la crescenza..

$F2(x)$ di $1/x$ sarà $(x/x^2)$ cioè $1/x $ Quindi? i flessi ci sono? coincidono con max o min? oppure ho sbagliato tutto lo studio di funzione?

Asintoto Verticale
$lim_(x->-2)((xlogx)/(x^2-4))=0/0$ $lim_(x->2)((xlogx)/(x^2-4))=infty$ ( $(+/-)infty$ a seconda di $2+$ o $2-$?)
Asintoto orizzontale
$lim_(x->infty)(xlogx/(x^2-4))=infty/infty$ dividendo la funzione per la x di grado maggiore del denominatore avrò: $(0*infty)/(1-0)$ c'è asintoto orizzontale perchè zero è una cost? quindi y=0?

Asintoto obliquo
non c'è se c'è l'asintoto orizzontale.

Spero possiate aiutermi e che qualcuno mi dia qualche esempio sui limiti del compito in alto da svolgere con la definizione di limite.
So di essere molto indietro, ma per mancanza di basi in matematica, ho dovuto iniziare dalle prime pagine dei libri 1a5 superiore e questo è il risultato di 20 giorni di riassunti e letture. Grazie a tutti quelli che rispondono. Ogni consiglio è ben accetto.

[ryo-votailprof]

Per caso la derivata dell' esercizio 2 g(x) ha una soluzione rapida come questa che hai fatto? Perché io ho sempre un procedimento lungo

[PZf]

Ho applicato la formula $log(a/b)=log a - log b$, tutto qui.
Per il secondo non mi viene in mente niente di particolare, posto qualcosa in caso mi viene in mente.
Si potrebbe provare a scrivere $(x^3-x)g(x)=sin x - cos x$ e derivare due volte entrambi i membri. Dalla derivata prima espliciti $g'(x)$ in funzione di $g(x)$ poi sostituisci l'espressione nota per $g(x)$, dalla derivata seconda espliciti $g''(x)$ in funzione di $g(x)$ e $g'(x)$, a questo punto entrambe note.
In questo momento non ho tempo di mettermi a provare, non so se le cose si complicano o il calcolo risulterebbe effettivamente più semplice.

[ryo-votailprof]

ok grazie

[ryo-votailprof]

Sono sempre alle prese con questa specie di metà compito.. Per caso qualcuno ha appunti utili da darmi così li studio e ci capisco qualcosa di più.
Per quanto riguarda gli esercizi con la definizione di limite, sto studiando da un libro di analisi e pian piano cerco di capirci qualcosa. Alcuni potrebbero essere risolti così?

$\lim_(x->-infty)((2)/(x^2+1))$ risolvendo normalmente dovrebbe essere $0$, devo trovare un intorno di $-infty$

$|(2/(x^2+1))|<\epsilon$
$|(x^2+1)|>(2/(\epsilon))$

$|x|sqrt(-1+(2/\epsilon))$

quindi $(-infty,-sqrt(-1+(2/\epsilon)))U(sqrt(-1+(2/\epsilon)),+infty)$

Altro limite
$\lim_(x->0+)(log x^3)$ dovrebbe essere $\infty$ e risolvere la disuguaglianza nell'intorno $0$

$|x^3|>M$

$(-\root(3)(M))$$<|x|>$ $(\root(3)( M))$ qui è radice cubica!

Non so se sono giusti i procedimenti, sarei grato se qualcuno mi potesse dare qualche suggerimento o mi potesse dire dove reperire materiale di studio. Per esempio i seguenti limiti ancora non ho idea di come si svolgono e tenendo presente la traccia del compito nei messaggi di prima, non so dove non è possibile calcolarli e perchè.

$lim_(x->+infty)(sqrt((x^3+x^2)/(e^x)))$

$\lim_(x->0+)(cosx/x)$
$\lim_(x->\Pi/2)((sinx)/((x-\Pi)/2))$

Grazie a tutti.