Esame Analisi 1
Finalmente oggi ho fatto questo sospirato esame e con il
vostro aiuto spero di averlo fatto bene.
Ho dei dubbi sul risultao ottenuto da due esercizi.
Chi può aiutarmi a risolverli per verifica con quello che ho fatto?
Grazie
1)Data la funzione
f(x) = x^2 per x >=1
= X^2a per 0 < x < 1
= x per x <= 0
trovare i valori di a appartenente ai Reali per i quali la f(x)
è continua;
è derivabile.
2) lim (x,y)->(0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))
vostro aiuto spero di averlo fatto bene.
Ho dei dubbi sul risultao ottenuto da due esercizi.
Chi può aiutarmi a risolverli per verifica con quello che ho fatto?
Grazie
1)Data la funzione
f(x) = x^2 per x >=1
= X^2a per 0 < x < 1
= x per x <= 0
trovare i valori di a appartenente ai Reali per i quali la f(x)
è continua;
è derivabile.
2) lim (x,y)->(0,0) (x^5 + y^5)/((x^4 + (x^2)(y^2))
Risposte
PRIMO ESERCIZIO
f(0)=0
affinché il lim per x-->0+ sia 0 occorre che a>0
f(1)=1
affinché il lim per x-->1- sia 1 non occorre specificare nulla. Va bene ogni a reale.
f(x) è quindi continua se a>0
Occupiamoci della derivabilità in x=0.
[f(0+h)-f(0)]/h=[f(h)]/h
se h-->0- il limite è 1
se h-->0+ il limite è:
lim (h^(2a-1))
bisogna che 2a-1=0. Quindi
a=1/2
Ci si può accontentare dell'esistenza di una derivata destra e di una sx richiedendo solo che:
2a-1>=0
a>=1/2
Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:
[f(1+h)-1]/h
se h-->1+ il limite vale 2
se h-->1- il limite diventa:
[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a
Affinché sia derivabile in x=1 occorre quindi che sia a=1.
Per ogni altro valore di a esistono le derivate dx e sx ma sono diverse.
Concludiamo che la funzione è continua per a>0.
Non è derivabile per alcun valore di a (nell'intero dominio).
Per 0<=a<1/2 f non ammette derivata dx (ma sx sì e vale 1) in x=0 e ammette derivate dx e sx (diverse) in x=1.
Per a=1/2 f è derivabile in x=0 e ammette derivate sx e dx diverse in x=1.
Per -1/2
Per a=1 f ammette derivate sx e dx diverse in x=0 ed è derivabile in x=1.
Per a>1 f ammette derivate dx e sx diverse sia in x=0 che in x=1.
SECONDO ESERCIZIO
il limite non esiste. Ad esempio calcolandolo lungo la curva x=y^2 il limite è infinito. Lungo l'asse delle x il limite vale 0.
Ciao!
f(0)=0
affinché il lim per x-->0+ sia 0 occorre che a>0
f(1)=1
affinché il lim per x-->1- sia 1 non occorre specificare nulla. Va bene ogni a reale.
f(x) è quindi continua se a>0
Occupiamoci della derivabilità in x=0.
[f(0+h)-f(0)]/h=[f(h)]/h
se h-->0- il limite è 1
se h-->0+ il limite è:
lim (h^(2a-1))
bisogna che 2a-1=0. Quindi
a=1/2
Ci si può accontentare dell'esistenza di una derivata destra e di una sx richiedendo solo che:
2a-1>=0
a>=1/2
Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:
[f(1+h)-1]/h
se h-->1+ il limite vale 2
se h-->1- il limite diventa:
[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a
Affinché sia derivabile in x=1 occorre quindi che sia a=1.
Per ogni altro valore di a esistono le derivate dx e sx ma sono diverse.
Concludiamo che la funzione è continua per a>0.
Non è derivabile per alcun valore di a (nell'intero dominio).
Per 0<=a<1/2 f non ammette derivata dx (ma sx sì e vale 1) in x=0 e ammette derivate dx e sx (diverse) in x=1.
Per a=1/2 f è derivabile in x=0 e ammette derivate sx e dx diverse in x=1.
Per -1/2
Per a=1 f ammette derivate sx e dx diverse in x=0 ed è derivabile in x=1.
Per a>1 f ammette derivate dx e sx diverse sia in x=0 che in x=1.
SECONDO ESERCIZIO
il limite non esiste. Ad esempio calcolandolo lungo la curva x=y^2 il limite è infinito. Lungo l'asse delle x il limite vale 0.
Ciao!
TI RINGRAZIO ANCORA NA VOLTA
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.
TI RINGRAZIO ANCORA UNA VOLTA
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.
Le tue spiegazioni sono sempre chiare.
Scusa goblyn,
in relazione al primo quesito di dazuco qui sopra, potresti spiegarmi con qualche passaggio in piu' perchè:
" Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:
[f(1+h)-1]/h
se h-->1+ il limite vale 2 && ---------> ok
se h-->1- il limite diventa:
[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a && ----------> ??
non mi è molto chiaro questo secondo limite...
Grazie!
E grazie per il resto!
in relazione al primo quesito di dazuco qui sopra, potresti spiegarmi con qualche passaggio in piu' perchè:
" Consideriamo ora x=1. Il rapporto incrementale vale:
[f(1+h)-1]/h
se h-->1+ il limite vale 2 && ---------> ok
se h-->1- il limite diventa:
[(1+h)^(2a)-1]/h --> 2a && ----------> ??
non mi è molto chiaro questo secondo limite...
Grazie!
E grazie per il resto!
Sia g(x)=(1+x)^r
Espandiamo in serie di McLaurin g(x), basta al prim'ordine.
g'(x)= r * (1+x)^(r-1)
g(0)=1
g'(0)=r
g(x)= 1 + rx + ...
nel nostro caso r=2a, quindi:
g(x) = 1 + 2a*x + ...
da cui:
g(x)-1 = 2a*x + ...
I termini nascosti nei puntini vanno a 0 più rapidamente di x per x-->0.
Quindi:
[f(1+h)-1]/h = [(1+h)^2a - 1]/h = [2ah + ...]/h --> 2a
ok? ciao!
Espandiamo in serie di McLaurin g(x), basta al prim'ordine.
g'(x)= r * (1+x)^(r-1)
g(0)=1
g'(0)=r
g(x)= 1 + rx + ...
nel nostro caso r=2a, quindi:
g(x) = 1 + 2a*x + ...
da cui:
g(x)-1 = 2a*x + ...
I termini nascosti nei puntini vanno a 0 più rapidamente di x per x-->0.
Quindi:
[f(1+h)-1]/h = [(1+h)^2a - 1]/h = [2ah + ...]/h --> 2a
ok? ciao!
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