Esame Ammissione Ph.D SISSA 2012 - Ex. 3
Chiedo riscontro (non mi sto preparando per l'ammissione, li faccio così a tempo perso).
Esercizio. Sia \(f\) una funzione continua strettamente monotona definita nel segmento \([a,b]\). Per ogni \(p>0\), si consideri il punto \(x_p\) tale che \[ f^p (x_p) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx. \]Calcolare \[\lim_{p\to +\infty} x_p.\]
Funziona?
Ringrazio.
Esercizio. Sia \(f\) una funzione continua strettamente monotona definita nel segmento \([a,b]\). Per ogni \(p>0\), si consideri il punto \(x_p\) tale che \[ f^p (x_p) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx. \]Calcolare \[\lim_{p\to +\infty} x_p.\]
Funziona?
Ringrazio.
Risposte
Sono d'accordo con te
Grazie per il check!
Su questo avrei qualche domanda. Innanzitutto mancano dei moduli oppure la funzione f è non negativa.
Inoltre, la traccia da per scontato che $x_p$ esiste. Non mi sembra così immediato, però non è nella richiesta.
Infine, dove hai usato la continuità? E come ti assicuri che da $lim f(x_p)=max_{x in [a,b]} |f(x)|$ ottieni che $lim_p x_p$ esista. Io ti chiederei qualche giustificazione in più.
Inoltre, la traccia da per scontato che $x_p$ esiste. Non mi sembra così immediato, però non è nella richiesta.
Infine, dove hai usato la continuità? E come ti assicuri che da $lim f(x_p)=max_{x in [a,b]} |f(x)|$ ottieni che $lim_p x_p$ esista. Io ti chiederei qualche giustificazione in più.
In effetti sembrano mancare dei moduli; per ora, supponiamo \(f\ge0\).
Dovrebbe essere conseguenza del teorema della media integrale; e qui è un primo punto in cui serve la continuità di \(f\) - le \(f^p\) sono tutte continue. Inoltre uso la continuità di \(f\) quando affermo che \(\|f\|_\infty\) è in effetti un massimo, poiché \([a,b]\) è compatto.
Il punctum dolens - e hai ragione - è questo
e mi trovo in una situazione spiacevole perché mi verrebbe da dire che se \(\lim_p f(x_p) = \max_{x \in [a,b]} f(x)\) allora necessariamente \(x_p \to a\) o \(x_p \to b\), però o è incompleto oppure è addirittura sbagliato.
Aggiungo alcune osservazioni che chiarifichino parzialmente la situazione: se \(f(x) \ge 1\)* per ogni \(x \in [a,b]\) allora \(f^p (x) \ge f^q (x)\) per ogni \(x \in [a,b]\) se \(p>q\); quindi la successione \[p \mapsto \frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx =f^p (x_p) \] è crescente, e lo è anche \[p \mapsto \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx\right)^{1/p} =f (x_p) \]perché la mappa \(x \mapsto x^{1/p}\) è crescente su \([0,+\infty)\). Quindi \(f(x_p)\) è crescente; questo basta per concludere che \(x_p\) è monotona? Anche qui vorrei dire di sì, ma la definizione di monotonia è data con \( \Longrightarrow\), mentre l'equivalenza è riservata alle immersioni d'ordine, e al momento sono troppo stanco per capire se, nel nostro caso, immersioni d'ordine e funzioni strettamente monotone siano la stessa cosa...
Questo, in ogni caso, non risolverebbe completamente il problema, perché l'assunzione * lede le generalità. Domani vedo se l'argomento si riesce ad estendere; nel frattempo, dimmi cosa ne pensi.
Grazie!
"DajeForte":
[...] Inoltre, la traccia da per scontato che $x_p$ esiste. Non mi sembra così immediato, però non è nella richiesta. Infine, dove hai usato la continuità? [...]
Dovrebbe essere conseguenza del teorema della media integrale; e qui è un primo punto in cui serve la continuità di \(f\) - le \(f^p\) sono tutte continue. Inoltre uso la continuità di \(f\) quando affermo che \(\|f\|_\infty\) è in effetti un massimo, poiché \([a,b]\) è compatto.
Il punctum dolens - e hai ragione - è questo
"DajeForte":
[...] E come ti assicuri che da $lim f(x_p)=max_{x in [a,b]} |f(x)|$ ottieni che $lim_p x_p$ esista. [...]
e mi trovo in una situazione spiacevole perché mi verrebbe da dire che se \(\lim_p f(x_p) = \max_{x \in [a,b]} f(x)\) allora necessariamente \(x_p \to a\) o \(x_p \to b\), però o è incompleto oppure è addirittura sbagliato.
Aggiungo alcune osservazioni che chiarifichino parzialmente la situazione: se \(f(x) \ge 1\)* per ogni \(x \in [a,b]\) allora \(f^p (x) \ge f^q (x)\) per ogni \(x \in [a,b]\) se \(p>q\); quindi la successione \[p \mapsto \frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx =f^p (x_p) \] è crescente, e lo è anche \[p \mapsto \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx\right)^{1/p} =f (x_p) \]perché la mappa \(x \mapsto x^{1/p}\) è crescente su \([0,+\infty)\). Quindi \(f(x_p)\) è crescente; questo basta per concludere che \(x_p\) è monotona? Anche qui vorrei dire di sì, ma la definizione di monotonia è data con \( \Longrightarrow\), mentre l'equivalenza è riservata alle immersioni d'ordine, e al momento sono troppo stanco per capire se, nel nostro caso, immersioni d'ordine e funzioni strettamente monotone siano la stessa cosa...
Questo, in ogni caso, non risolverebbe completamente il problema, perché l'assunzione * lede le generalità. Domani vedo se l'argomento si riesce ad estendere; nel frattempo, dimmi cosa ne pensi.
Grazie!
"Delirium":
Dovrebbe essere conseguenza del teorema della media integrale; e qui è un primo punto in cui serve la continuità di \(f\) - le \(f^p\) sono tutte continue.
Certamente ed inoltre la stretta monotonia fa si che il punto sia unico.
Era immediato ma me lo ero perso.
"Delirium":
\[p \mapsto \frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx =f^p (x_p) \] è crescente, e lo è anche \[p \mapsto \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx\right)^{1/p} =f (x_p) \]perché la mappa \(x \mapsto x^{1/p}\) è crescente su \([0,+\infty)\).
Qua mi perdo ancora: nella funzione \[p \mapsto \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx\right)^{1/p} \], quando aumenti $p$, $f^p$ cresce aumentando il valore della funzione, ma fai anche una radice piu "forte" che invece te lo spinge giu'. Come fai a concludere velocemente che la funzione e' crescente? (lo e'!)
Se vuoi qualcosa di diretto dimostrerei il seguente Lemma:
Sia $f:[a,b] mapsto RR$ continua e strettamente monotona e $x_n$ una successione in $[a,b]$.
Se $f(x_n)$ converge allora $x_n$ converge. Inoltre $lim x_n$ e' pari all'unico punto $x_0 in [a,b]$ tale per cui $f(x_0)= lim f(x_n)$.
Questo lo ottieni osservando che f e' una biezione.
A questo punto, supponendo la funzione crescente hai che $lim_p f(x_p) = f(b)$. Per il lemma hai che $lim x_p = b$.
Se volessi puoi anche fare un ragionamento piu' complesso (ma piu' interessante) di teoria della misura.
Se definisci la misura $mu=lambda/(b-a)$, dove $lambda$ e' la misura di Lebesgue, hai che $mu$ e' una misura di probabilita' ed $(1/(b-a) int_a^b f^p d lambda )^(1/p) = ||f||_{p, mu}$.
La disuguaglianza di Jensen ti implica che $||f||_{p, mu}$ e' crescente in $p$. No credo valga questa monotonia se lo spazio non e' di misura (ma devo verificare).
"DajeForte":
[...] Qua mi perdo ancora: nella funzione \[p \mapsto \left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p (x) \, dx\right)^{1/p} \], quando aumenti $p$, $f^p$ cresce aumentando il valore della funzione, ma fai anche una radice piu "forte" che invece te lo spinge giu'. Come fai a concludere velocemente che la funzione e' crescente? [...]
Hai ragione di nuovo: mi ero dimenticato del fatto che l'esponente dipendesse dagl'indici di successione (è \(a_p ^{1/p} \) e non \(a_p ^ {1/n}\), con un \(n\) fissato). Più o meno tutto da buttare quello che ho detto.
"DajeForte":
[...] Se vuoi qualcosa di diretto dimostrerei il seguente Lemma:
Sia $f:[a,b] mapsto RR$ continua e strettamente monotona e $x_n$ una successione in $[a,b]$.
Se $f(x_n)$ converge allora $x_n$ converge. Inoltre $lim x_n$ e' pari all'unico punto $x_0 in [a,b]$ tale per cui $f(x_0)= lim f(x_n)$. [...]
Già. Credo basti osservare che se \(f\) è strettamente crescente (risp. descrescente), allora è biiettiva sull'immagine \(f([a,b])\); allora l'inversa \(f^{-1} \) è pure strettamente crescente (risp. decrescente). Pertanto \(x_p = f^{-1} (f(x_p))\) è strettamente crescente (risp. decrescente). Questo è sufficiente per concludere che \(x_p\) ammette limite \(x_0\) (finito, perché la successione è bloccata in un compatto); che \(x_0 \in [a,b]\) credo discenda dal fatto che \([a,b]\) è chiuso, e quindi contiene tutti i suoi punti limite. \(\lim_{p \to \infty} f(x_p) = f(x_0)\) è vero perché \(f\) è continua; a questo punto, in virtù del fatto che \[\lim_{p \to \infty} f(x_p) =f(x_0)= \max_{x \in [a,b]} f(x) \]e del fatto che il massimo (risp. minimo) è nel nostro caso unico, credo si possa finalmente concludere che \(x_0 = b\) (risp. \(x_0 =a\)). O c'è ancora qualche dettaglio da sistemare?
"DajeForte":
[...] Se volessi puoi anche fare un ragionamento piu' complesso (ma piu' interessante) di teoria della misura.
Se definisci la misura $mu=lambda/(b-a)$, dove $lambda$ e' la misura di Lebesgue, hai che $mu$ e' una misura di probabilita' ed $(1/(b-a) int_a^b f^p d lambda )^(1/p) = ||f||_{p, mu}$.
La disuguaglianza di Jensen ti implica che $||f||_{p, mu}$ e' crescente in $p$. No credo valga questa monotonia se lo spazio non e' di misura (ma devo verificare).
Non ci avrei mai pensato. Bella!
"Delirium":
Già. Credo basti osservare che se \(f\) è strettamente crescente (risp. descrescente), allora è biiettiva sull'immagine \(f([a,b])\); allora l'inversa \(f^{-1} \) è pure strettamente crescente (risp. decrescente). Pertanto \(x_p = f^{-1} (f(x_p))\) è strettamente crescente (risp. decrescente).
Qua sembra che affermi che, siccome $f^{-1}$ è crescente, allora $x_p = f^{-1} (f(x_p))$ è crescente. Ma assumi che $f(x_p)$ è crescente? Se è cosi non lo hai e stai facendo un ragionamento circolare.
Io avevo pensato ad una dimostrazione per assurdo: supponi che $x_n$ (usando le successioni viene più semplice) vada a due punti differenti su due sottosuccessioni.
Altrimenti puoi considerare che $f^{-1}$ è continua.
Sì, mi sa che ho scritto di nuovo delle fesserie. Devo (ri)pensarci con calma quando non sono sotto esami.
Grazie per la pazienza, (prima o) poi ci torno!
Grazie per la pazienza, (prima o) poi ci torno!
Forse una traccia di soluzione meno raffinata, ma forse funzionante.
Per il teorema del calcolo integrale e per il teorema di Lagrange:
$ int_(a)^(b) f^n(t) dt=F(b)-F(a)=f^n(xi_n)(b-a) $
$ 1/(b-a)int_(a)^(b) f^n(t) dt=f^n(xi_n) $
che e' una riscrittura della proprieta' richiesta per il punto $ xi_n $. (il tuo punto $ x_n $ rinominato $ xi_n $ per pura abitudine)
poi usando monotonia della funzione f dovrebbe essere facile concludere il limite [quest'ultima parte va raffinata]
Per il teorema del calcolo integrale e per il teorema di Lagrange:
$ int_(a)^(b) f^n(t) dt=F(b)-F(a)=f^n(xi_n)(b-a) $
$ 1/(b-a)int_(a)^(b) f^n(t) dt=f^n(xi_n) $
che e' una riscrittura della proprieta' richiesta per il punto $ xi_n $. (il tuo punto $ x_n $ rinominato $ xi_n $ per pura abitudine)
poi usando monotonia della funzione f dovrebbe essere facile concludere il limite [quest'ultima parte va raffinata]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo