Es.1.2(15,16,17) limiti di funzioni, $log(x)$ ed $x$ in una moltiplicazione o divisione
Per i limiti con $x->0^+$ ho dei problemi di comprensione nel caso ci sia log(x) ed x in una moltiplicazione o divisione.
Vi dico come ragiono in tre diversi esercizi, così da poter meglio correggere i miei passaggi.
(Aprire le immagini in una nuova tab nel caso fossero tagliate)
Es 15
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]\frac{(log(x))^2}{x}[/tex]
penso: [tex](log(x))^2[/tex] va a zero più velocemente di $x$ pertanto conta di più ed il limite farà sicuramente $0$
Es 16
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]x((log(x))^2)[/tex] c'è $(log(x))^2$ che tende a zero più velocemente, con un valore di $-\infty$. Sono portato a considerare questo termine, pur sapendo che non si è in un "semplice" confronto tra infinitesimi, ma che le due variabili sono strettamente correlate tra loro da una moltiplicazione.
Es 17
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]\sqrt{\frac{1}{2}x}log(x)[/tex] applico il solito ragionamento di Es 15.
Come procede l'eserciziario? Li riconduce a un qualcosa che permette di applicare la regola di de l'Hôpital oppure procede in altro modo?
Ovviamente per tutti e tre i casi, se si vede il grafico della funzione si capisce subito che cosa succede, ma in maniera altrettanta ovvia, non è questo il modo di procedere nel calcolo di un limite, perciò pur potendo avere un quadro visivo completo, non posso avvantaggiarmene in alcun modo, devo piuttosto mettere sulla giusta strada il mio approccio alla risoluzione del problema.
Vi dico come ragiono in tre diversi esercizi, così da poter meglio correggere i miei passaggi.
(Aprire le immagini in una nuova tab nel caso fossero tagliate)
Es 15
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]\frac{(log(x))^2}{x}[/tex]
penso: [tex](log(x))^2[/tex] va a zero più velocemente di $x$ pertanto conta di più ed il limite farà sicuramente $0$
Es 16
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]x((log(x))^2)[/tex] c'è $(log(x))^2$ che tende a zero più velocemente, con un valore di $-\infty$. Sono portato a considerare questo termine, pur sapendo che non si è in un "semplice" confronto tra infinitesimi, ma che le due variabili sono strettamente correlate tra loro da una moltiplicazione.
Es 17
mio ragionamento:
una volta arrivati a [tex]\sqrt{\frac{1}{2}x}log(x)[/tex] applico il solito ragionamento di Es 15.
Come procede l'eserciziario? Li riconduce a un qualcosa che permette di applicare la regola di de l'Hôpital oppure procede in altro modo?
Ovviamente per tutti e tre i casi, se si vede il grafico della funzione si capisce subito che cosa succede, ma in maniera altrettanta ovvia, non è questo il modo di procedere nel calcolo di un limite, perciò pur potendo avere un quadro visivo completo, non posso avvantaggiarmene in alcun modo, devo piuttosto mettere sulla giusta strada il mio approccio alla risoluzione del problema.
Risposte
Ciao, io nell'esercizio n°15 procederei così:
$ lim_(x -> 0^+) (logx)^2/log(1+x)=lim_(x -> 0^+) x/x*(logx)^2/log(1+x)=lim_(x -> 0^+)x/log(1+x)*(logx)^2/x= $ $ (logx)^2/x $ ricordando che $ logx=o(x) , x->0 $ si ottiene il limite $ lim_(x -> 0^+)1/x=+oo $
$ lim_(x -> 0^+) (logx)^2/log(1+x)=lim_(x -> 0^+) x/x*(logx)^2/log(1+x)=lim_(x -> 0^+)x/log(1+x)*(logx)^2/x= $ $ (logx)^2/x $ ricordando che $ logx=o(x) , x->0 $ si ottiene il limite $ lim_(x -> 0^+)1/x=+oo $
Si, gli esercisi n.16 e n.17, si risolvono con Hopital , magari applicato più di una volta e conducono al risultato del limite $0$;
$lim_(x->0)x(logx)^2$, ed $lim_(x->0^+)(x/2)^(1/3)(logx)$, sono della stessa forma di $lim_(x->0^+)x(logx)=lim(x->0)(logx)/(1/x)=lim_(x->0)(1/x)/(-1/(x^2))=lim_(x->0^+)(-x^2)/x=0$.
$lim_(x->0)x(logx)^2$, ed $lim_(x->0^+)(x/2)^(1/3)(logx)$, sono della stessa forma di $lim_(x->0^+)x(logx)=lim(x->0)(logx)/(1/x)=lim_(x->0)(1/x)/(-1/(x^2))=lim_(x->0^+)(-x^2)/x=0$.
Non c'è bisogno di tanti calcoli per il numero 15. Semplicemente log(x)^2 va a +infinito mentre log(1+x) va a 0+. Infinito/0+ non è una forma di indecisione.
Esatto il n.15 non è una forma indeterminata a differenza dei n.16 e n.17
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