Errore nel calcolo di due limiti
Buongiorno,
non riesco a capire dove sbaglio questi calcoli, gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi, possibilmente spiegando in modo semplice?
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^-} 1/((-2^-)^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^-} 1/((4^-) -4) = 1/(0^-) = -\infty$ (anziché $+\infty$)
$\lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^+} 1/((-2^+)^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^+} 1/((4^+) -4) = 1/(0^+) = +\infty$ (anziché $-\infty$)
non riesco a capire dove sbaglio questi calcoli, gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi, possibilmente spiegando in modo semplice?
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^-} 1/((-2^-)^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^-} 1/((4^-) -4) = 1/(0^-) = -\infty$ (anziché $+\infty$)
$\lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^+} 1/((-2^+)^2-4)$, $\lim_{x \to \-2^+} 1/((4^+) -4) = 1/(0^+) = +\infty$ (anziché $-\infty$)
Risposte
Quanto fa $(-2,001)^2$? Quanto fa $(-1,999)^2$?
$4,004$ dunque $4^+$, $3,99$ dunque $4^-$
Quello che non comprendo è cosa sbaglio algebricamente nel calcolo dei limiti
Quello che non comprendo è cosa sbaglio algebricamente nel calcolo dei limiti
"Anna33":
$4,004$ dunque $4^+$, $3,99$ dunque $4^-$
Quello che non comprendo è cosa sbaglio algebricamente nel calcolo dei limiti
Vedi le tue risposte alle mie domande.
Sta tutto nel passaggio che ha indicato ghira.
All'esame, senza poter usare la calcolatrice, devo fare a mano questi conti?
"Anna33":
All'esame, senza poter usare la calcolatrice, devo fare a mano questi conti?
Probabilmente no.
Guarda il tuo messaggio originale. Guarda le tue risposte alle mie domande.
Ciao Anna33,
Partiamo dal primo:
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4)$
Questo significa che stai cercando il limite per $x$ che tende a $- 2 $ da sinistra (cioè per valori come il $-2,001 $ di cui ti ha scritto ghira). Ora è chiaro che se un numero del genere lo elevi al quadrato, il risultato sarà un numero maggiore di $4$: quindi se poi gli sottrai $4$ otterrai un numero che si avvicina molto allo $0$, ma da destra, quindi da valori positivi, dunque $0^+ $. Facendone l'inverso si ottiene proprio $+\infty $, sicché si ha:
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4) = +\infty $
Per il secondo limite proposto il ragionamento è analogo:
$ \lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4) $
Questo significa che stai cercando il limite per $x$ che tende a $- 2 $ da destra (cioè per valori come il $-1,999 $ di cui ti ha scritto ghira). Ora è chiaro che se un numero del genere lo elevi al quadrato, il risultato sarà un numero minore di $4$: quindi se poi gli sottrai $4$ otterrai un numero che si avvicina molto allo $0$, ma da sinistra, quindi da valori negativi, dunque $0^- $. Facendone l'inverso si ottiene proprio $-\infty $, sicché si ha:
$\lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4) = -\infty $
"Anna33":
Quello che non comprendo è cosa sbaglio algebricamente nel calcolo dei limiti
Partiamo dal primo:
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4)$
Questo significa che stai cercando il limite per $x$ che tende a $- 2 $ da sinistra (cioè per valori come il $-2,001 $ di cui ti ha scritto ghira). Ora è chiaro che se un numero del genere lo elevi al quadrato, il risultato sarà un numero maggiore di $4$: quindi se poi gli sottrai $4$ otterrai un numero che si avvicina molto allo $0$, ma da destra, quindi da valori positivi, dunque $0^+ $. Facendone l'inverso si ottiene proprio $+\infty $, sicché si ha:
$\lim_{x \to \-2^-} 1/(x^2-4) = +\infty $
Per il secondo limite proposto il ragionamento è analogo:
$ \lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4) $
Questo significa che stai cercando il limite per $x$ che tende a $- 2 $ da destra (cioè per valori come il $-1,999 $ di cui ti ha scritto ghira). Ora è chiaro che se un numero del genere lo elevi al quadrato, il risultato sarà un numero minore di $4$: quindi se poi gli sottrai $4$ otterrai un numero che si avvicina molto allo $0$, ma da sinistra, quindi da valori negativi, dunque $0^- $. Facendone l'inverso si ottiene proprio $-\infty $, sicché si ha:
$\lim_{x \to \-2^+} 1/(x^2-4) = -\infty $
La scrittura $0^-$ significa (detto in termini molto pratici): numero negativo con valore assoluto molto piccolo.
La scrittura $0^+$ significa: numero positivo con valore assoluto molto piccolo.
In altri termini significa che si tratta di un numero infinitamente vicino a $0$ arrivando da sinistra ($0^-$) o da destra ($0^+$) rispetto all'origine dell'asse delle ascisse.
Come se stessi guardando i numeri in decrescendo da due direzioni opposte che puntano verso $0$.
La scrittura $0^+$ significa: numero positivo con valore assoluto molto piccolo.
In altri termini significa che si tratta di un numero infinitamente vicino a $0$ arrivando da sinistra ($0^-$) o da destra ($0^+$) rispetto all'origine dell'asse delle ascisse.
Come se stessi guardando i numeri in decrescendo da due direzioni opposte che puntano verso $0$.
@Anna33: Lo studio del segno di una frazione algebrica è un'abilità matematica di base, che viene acquisita nei primi due/tre anni delle superiori.
È immediato stabilire che la frazione $1/(x^2 - 4)$ è positiva negli intervalli esterni alle radici del denominatore, ossia per $x< -2 vv x > 2$, e negativa nell'intervallo interno ad esse, cioè per $-2 < x < 2$.
Queste semplici informazioni sul segno bastano per capire immediatamente il segno dello $oo$ nei limiti a destra e sinistra di $+-2$ senza ricorrere a bizantinismi come le discussioni sui segni di $0$ a destra o sinistra di $+-2$.
È immediato stabilire che la frazione $1/(x^2 - 4)$ è positiva negli intervalli esterni alle radici del denominatore, ossia per $x< -2 vv x > 2$, e negativa nell'intervallo interno ad esse, cioè per $-2 < x < 2$.
Queste semplici informazioni sul segno bastano per capire immediatamente il segno dello $oo$ nei limiti a destra e sinistra di $+-2$ senza ricorrere a bizantinismi come le discussioni sui segni di $0$ a destra o sinistra di $+-2$.
@Anna33: Alternativamente, puoi notare che $x^2-4=(x+2)(x-2)$; ora, si vede molto più facilmente qual è il segno della frazione in un intorno di $-2$.
Grazie @pilloeffe per aver spiegato in modo semplice ed efficace il procedimento di questo caso in particolare.
Grazie @AnalisiZero, @gugo82, @Mephlip per avermi fornito ulteriori chiarimenti e approcci.
L'origine del mio errore deriva dal fatto che mi è stato insegnato che, prendendo l'esempio già esposto, per calcolare $((-2^-)^2)-4$ devo fare il quadrato di $-2$ e, ottenuto il risultato cioè ($4$), "riportare" al risultato il segno del limite (perdonate, non so se abbia un nome specifico), in questo caso $(-2^-)$ ha il segno del limite sinistro, perciò "riporto" al risultato quel segno: $(4^-)$. Il conto è $((-2^-)^2)-4 = (4^-)-4= (0^-)$. Ed ecco perché sbaglio.
Dunque, la regola che mi è stata insegnata non è valida sempre, visto che in questo caso il risultato è errato.
Chiedo, allora, esiste una regola generale per poter ottenere il risultato e capire che segno del limite porre, senza dover necessariamente scegliere un valore di $x$ e svolgere i conti?
Grazie @AnalisiZero, @gugo82, @Mephlip per avermi fornito ulteriori chiarimenti e approcci.
L'origine del mio errore deriva dal fatto che mi è stato insegnato che, prendendo l'esempio già esposto, per calcolare $((-2^-)^2)-4$ devo fare il quadrato di $-2$ e, ottenuto il risultato cioè ($4$), "riportare" al risultato il segno del limite (perdonate, non so se abbia un nome specifico), in questo caso $(-2^-)$ ha il segno del limite sinistro, perciò "riporto" al risultato quel segno: $(4^-)$. Il conto è $((-2^-)^2)-4 = (4^-)-4= (0^-)$. Ed ecco perché sbaglio.
Dunque, la regola che mi è stata insegnata non è valida sempre, visto che in questo caso il risultato è errato.
Chiedo, allora, esiste una regola generale per poter ottenere il risultato e capire che segno del limite porre, senza dover necessariamente scegliere un valore di $x$ e svolgere i conti?
"Anna33":
Grazie @pilloeffe per aver spiegato in modo semplice ed efficace il procedimento di questo caso in particolare.
Prego!
"Anna33":
Chiedo, allora, esiste una regola generale per poter ottenere il risultato e capire che segno del limite porre, senza dover necessariamente scegliere un valore di x e svolgere i conti?
Beh, a questa domanda ti ha già risposto gugo82: studiare il segno di $f(x) $.
Nel caso in esame $f(x) = 1/(x^2 - 4) = 1/((x - 2)(x + 2)) $ ha dominio naturale $D = (-\infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, +\infty) $ e si vede subito che la funzione presenta due asintoti verticali di equazione $x = 2 $ e $x = - 2$ e che è positiva per $x < - 2 \vv x > 2 $, negativa per $- 2 < x < 2 $
Questo studio del segno (che consiglio sempre di fare) ti consente di stabilire facilmente e senza errori il segno da attribuire a $\infty $ quando calcoli i limiti (destro e sinistro) nei punti critici $- 2$ e $2$.
Grazie @pilloeffe, sono consapevole che gugo82 mi avesse già fornito la risposta, ma non è esattamente quella che cercavo, ecco perché ho posto la domanda in maniera alternativa sperando di essere più chiara. Ahimè il prof vuole proprio i passaggi dei conti come nell'esempio sopra, non accetta altri metodi (es quelli proposti da gugo82 o ghira).
"Anna33":
non accetta altri metodi (es quelli proposti da gugo82 o ghira).
Il mio non è un altro metodo. È il _tuo_ metodo. Che non hai usato. O che hai usato male. Il tuo messaggio originale non è compatibile con la _tua_ risposta alla mia domanda.
Guarda il tuo messaggio. Guarda la tua risposta alla mia domanda. Nota l'incoerenza.
Nel messaggio originale dici 4-, in risposta a me dici 4+. Non te ne sei accorta? Insomma.
Ti ho invitata a calcolare $(-2,001)^2$ ecc. come esempi specifici di numeri appena sotto e sopra -2 con quadrati appena sopra e sotto 4 sperando che notassi il problema. Cerco di fornire il minore aiuto non-zero possibile. Molti dei miei messaggi consistono in "$0<4$" o roba simile. Pensavo che la mia domanda a te fosse abbastanza per mostrarti che stavi usando male il tuo metodo. Ed eccomi che scrivo intere frasi. Per pentirmi dovrò cercare di essere anche più minimalista del solito per qualche settimana.
"Anna33":
senza dover necessariamente scegliere un valore di $x$ e svolgere i conti?
@ghira non posso scegliere valori arbitrari di $x$
[inline][/inline]
@ghira non posso scegliere valori arbitrari di $x$[/quote]
Lo so!
Ma leggi quello che scrivo? Sono incomprensibile?
Paragona il tuo messaggio originale con la tua risposta alla mia domanda!
Prima dici che il quadrato di un numero sotto -2 è minore di -4. Ma a me dici che il quadrato di un numero sotto -2 è maggiore di -4. Non te ne sei accorta? -2,001 ecc. erano esempi specifici per mostrarti il tuo errore, non un "metodo da usare".
Non ti sto dicendo di scegliere valori aribitari di $x$. Visto che sono incomprensibile non ti rispondo più perché evidentemente non è utile per nessuno di noi due.
"Anna33":
[quote="Anna33"] senza dover necessariamente scegliere un valore di $x$ e svolgere i conti?
@ghira non posso scegliere valori arbitrari di $x$[/quote]
Lo so!
Ma leggi quello che scrivo? Sono incomprensibile?
Paragona il tuo messaggio originale con la tua risposta alla mia domanda!
Prima dici che il quadrato di un numero sotto -2 è minore di -4. Ma a me dici che il quadrato di un numero sotto -2 è maggiore di -4. Non te ne sei accorta? -2,001 ecc. erano esempi specifici per mostrarti il tuo errore, non un "metodo da usare".
Non ti sto dicendo di scegliere valori aribitari di $x$. Visto che sono incomprensibile non ti rispondo più perché evidentemente non è utile per nessuno di noi due.
"Anna33":
Ahimè il prof vuole proprio i passaggi dei conti come nell'esempio sopra, non accetta altri metodi (es quelli proposti da gugo82 o ghira).
Allora non ti resta che fare bene i conti...
Si ha:
$\lim_{x \to - 2^-} 1/(x^2−4) = 1/((−2^−)^2−4) = 1/(4^+ −4)=1/0^+= + \infty $
$\lim_{x \to - 2^+} 1/(x^2−4) = 1/((−2^+)^2−4) = 1/(4^{-} −4)=1/0^{-} = - \infty $
@ghira Ovvio che so che la risposta che ti ho dato è quella corretta, mentre nel mio messaggio originale c'è appositamente la versione sbagliata (che deriva dalla regola imparata e che voglio correggere).
Il punto è che, ripeto, non posso sostituire $x$ con valori specifici per riuscire a svolgere correttamente l'esercizio. Ogni volta dovrei inserire valori, svolgere i conti, per capire che risposta dare, e non lo posso fare. Devo essere in grado di sapere una o più regole che mi consentano di capire la soluzione, senza usare il dominio, senza usare valori specifici, etc.. Un esempio giusto per capirsi, "per $x < 0$, $((x^-)^2) = (y^+)$".
Il punto è che, ripeto, non posso sostituire $x$ con valori specifici per riuscire a svolgere correttamente l'esercizio. Ogni volta dovrei inserire valori, svolgere i conti, per capire che risposta dare, e non lo posso fare. Devo essere in grado di sapere una o più regole che mi consentano di capire la soluzione, senza usare il dominio, senza usare valori specifici, etc.. Un esempio giusto per capirsi, "per $x < 0$, $((x^-)^2) = (y^+)$".
"pilloeffe":
[quote="Anna33"]Ahimè il prof vuole proprio i passaggi dei conti come nell'esempio sopra, non accetta altri metodi (es quelli proposti da gugo82 o ghira).
Allora non ti resta che fare bene i conti...
Si ha:
$\lim_{x \to - 2^-} 1/(x^2−4) = 1/((−2^−)^2−4) = 1/(4^+ −4)=1/0^+= + \infty $
$\lim_{x \to - 2^+} 1/(x^2−4) = 1/((−2^+)^2−4) = 1/(4^{-} −4)=1/0^{-} = - \infty $[/quote]
È esattamente questo quello che intendo, il problema è però che sbaglio in questo passaggio ad esempio $1/((−2^+)^2−4) = 1/(4^{-} −4)$, non capisco come si arrivi a cambiare il segno del limite (senza provare con valori specifici o facendo il dominio o altri stratagemmi)
Semplice, se arrivi a $-2$ da destra allora il valore assoluto è minore (più piccolo) di $2$ e il suo quadrato sarà minore di $4$.
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